Theorem isffth2 16576

Description: A fully faithful functor is a functor which is bijective on hom-sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfth.b	|- B = ( Base ` C )
isfth.h	|- H = ( Hom ` C )
isfth.j	|- J = ( Hom ` D )

Assertion

Ref	Expression
isffth2	|- ( F ( ( C Full D ) i^i ( C Faith D ) ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, C, y   x, D, y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, J, y

Proof of Theorem isffth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfth.b	. . . 4 |- B = ( Base ` C )
2		isfth.j	. . . 4 |- J = ( Hom ` D )
3		isfth.h	. . . 4 |- H = ( Hom ` C )
4	1, 2, 3	isfull2 16571	. . 3 |- ( F ( C Full D ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )
5	1, 3, 2	isfth2 16575	. . 3 |- ( F ( C Faith D ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )
6	4, 5	anbi12i 733	. 2 |- ( ( F ( C Full D ) G /\ F ( C Faith D ) G ) <-> ( ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) /\ ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) ) )
7		brin 4704	. 2 |- ( F ( ( C Full D ) i^i ( C Faith D ) ) G <-> ( F ( C Full D ) G /\ F ( C Faith D ) G ) )
8		df-f1o 5895	. . . . . . 7 |- ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) <-> ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )
9		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) <-> ( ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )
10	8, 9	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) <-> ( ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )
11	10	2ralbii 2981	. . . . 5 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )
12		r19.26-2 3065	. . . . 5 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )
13	11, 12	bitri 264	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )
14	13	anbi2i 730	. . 3 |- ( ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) <-> ( F ( C Func D ) G /\ ( A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) ) )
15		anandi 871	. . 3 |- ( ( F ( C Func D ) G /\ ( A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) /\ ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) ) )
16	14, 15	bitri 264	. 2 |- ( ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) <-> ( ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) /\ ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) ) )
17	6, 7, 16	3bitr4i 292	1 |- ( F ( ( C Full D ) i^i ( C Faith D ) ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   A.wral 2912   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952   Func cfunc 16514   Full cful 16562   Faith cfth 16563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-ixp 7909  df-func 16518  df-full 16564  df-fth 16565

This theorem is referenced by:  idffth  16593  ressffth  16598  catciso  16757  yonffthlem  16922