Theorem isglbd 17117

Description: Properties that determine the greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isglbd.b	|- B = ( Base ` K )
isglbd.l	|- .<_ = ( le ` K )
isglbd.g	|- G = ( glb ` K )
isglbd.1	|- ( ( ph /\ y e. S ) -> H .<_ y )
isglbd.2	|- ( ( ph /\ x e. B /\ A. y e. S x .<_ y ) -> x .<_ H )
isglbd.3	|- ( ph -> K e. CLat )
isglbd.4	|- ( ph -> S C_ B )
isglbd.5	|- ( ph -> H e. B )

Assertion

Ref	Expression
isglbd	|- ( ph -> ( G ` S ) = H )

Distinct variable groups:   x, B   x, y, H   x, K, y   ph, x, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( y)   G( x, y)   .<_ ( x, y)

Proof of Theorem isglbd

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isglbd.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		isglbd.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		isglbd.g	. . 3 |- G = ( glb ` K )
4		biid 251	. . 3 |- ( ( A. y e. S h .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) ) <-> ( A. y e. S h .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) ) )
5		isglbd.3	. . 3 |- ( ph -> K e. CLat )
6		isglbd.4	. . 3 |- ( ph -> S C_ B )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	glbval 16997	. 2 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ h e. B ( A. y e. S h .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) ) ) )
8		isglbd.1	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> H .<_ y )
9	8	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. S H .<_ y )
10		isglbd.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B /\ A. y e. S x .<_ y ) -> x .<_ H )
11	10	3exp 1264	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. B -> ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ H ) ) )
12	11	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ H ) )
13		isglbd.5	. . . 4 |- ( ph -> H e. B )
14	1, 3	clatglbcl2 17115	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> S e. dom G )
15	5, 6, 14	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> S e. dom G )
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	glbeu 16996	. . . 4 |- ( ph -> E! h e. B ( A. y e. S h .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) ) )
17		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( h .<_ y <-> H .<_ y ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( A. y e. S h .<_ y <-> A. y e. S H .<_ y ) )
19		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( h = H -> ( x .<_ h <-> x .<_ H ) )
20	19	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( h = H -> ( ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) <-> ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ H ) ) )
21	20	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( h = H -> ( A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) <-> A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ H ) ) )
22	18, 21	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( h = H -> ( ( A. y e. S h .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) ) <-> ( A. y e. S H .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ H ) ) ) )
23	22	riota2 6633	. . . 4 |- ( ( H e. B /\ E! h e. B ( A. y e. S h .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) ) ) -> ( ( A. y e. S H .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ H ) ) <-> ( iota_ h e. B ( A. y e. S h .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) ) ) = H ) )
24	13, 16, 23	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( A. y e. S H .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ H ) ) <-> ( iota_ h e. B ( A. y e. S h .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) ) ) = H ) )
25	9, 12, 24	mpbi2and 956	. 2 |- ( ph -> ( iota_ h e. B ( A. y e. S h .<_ y /\ A. x e. B ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ h ) ) ) = H )
26	7, 25	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( G ` S ) = H )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888   iota_crio 6610   Basecbs 15857   lecple 15948   glbcglb 16943   CLatccla 17107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-glb 16975  df-clat 17108

This theorem is referenced by:  dihglblem2N  36583