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Theorem dihglblem2N 36583
Description: The GLB of a set of lattice elements S is the same as that of the set T with elements of S cut down to be under W. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b |- B = ( Base ` K )
dihglblem.l |- .<_ = ( le ` K )
dihglblem.m |- ./\ = ( meet ` K )
dihglblem.g |- G = ( glb ` K )
dihglblem.h |- H = ( LHyp ` K )
dihglblem.t |- T = { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) }
Assertion
Ref Expression
dihglblem2N |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> ( G ` S ) = ( G ` T ) )
Distinct variable groups:   v, u, ./\   u, B   u, S, v   u, W, v
Allowed substitution hints:   B( v)   T( v, u)   G( v, u)   H( v, u)   K( v, u)   .<_ ( v, u)
Proof of Theorem dihglblem2N
Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . 2 |- B = ( Base ` K )
2 dihglblem.l . 2 |- .<_ = ( le ` K )
3 dihglblem.g . 2 |- G = ( glb ` K )
4 simpl1l 1112 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> K e. HL )
5 hllat 34650 . . . 4 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
64, 5syl 17 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
7 simp1l 1085 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> K e. HL )
8 hlclat 34645 . . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
97, 8syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> K e. CLat )
10 dihglblem.t . . . . . 6 |- T = { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) }
11 ssrab2 3687 . . . . . 6 |- { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) } C_ B
1210, 11eqsstri 3635 . . . . 5 |- T C_ B
131, 3clatglbcl 17114 . . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ B ) -> ( G ` T ) e. B )
149, 12, 13sylancl 694 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> ( G ` T ) e. B )
1514adantr 481 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( G ` T ) e. B )
16 simpl2 1065 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> S C_ B )
17 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> x e. S )
1816, 17sseldd 3604 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> x e. B )
19 simpl1r 1113 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> W e. H )
20 dihglblem.h . . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
211, 20lhpbase 35284 . . . . 5 |- ( W e. H -> W e. B )
2219, 21syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> W e. B )
23 dihglblem.m . . . . 5 |- ./\ = ( meet ` K )
241, 23latmcl 17052 . . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ x e. B /\ W e. B ) -> ( x ./\ W ) e. B )
256, 18, 22, 24syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) e. B )
264, 8syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
27 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) = ( x ./\ W ) )
28 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( v = x -> ( v ./\ W ) = ( x ./\ W ) )
2928eqeq2d 2632 . . . . . . . 8 |- ( v = x -> ( ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) <-> ( x ./\ W ) = ( x ./\ W ) ) )
3029rspcev 3309 . . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ ( x ./\ W ) = ( x ./\ W ) ) -> E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) )
3117, 27, 30syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) )
32 eqeq1 2626 . . . . . . . 8 |- ( u = ( x ./\ W ) -> ( u = ( v ./\ W ) <-> ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) ) )
3332rexbidv 3052 . . . . . . 7 |- ( u = ( x ./\ W ) -> ( E. v e. S u = ( v ./\ W ) <-> E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) ) )
3433elrab 3363 . . . . . 6 |- ( ( x ./\ W ) e. { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) } <-> ( ( x ./\ W ) e. B /\ E. v e. S ( x ./\ W ) = ( v ./\ W ) ) )
3525, 31, 34sylanbrc 698 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) e. { u e. B | E. v e. S u = ( v ./\ W ) } )
3635, 10syl6eleqr 2712 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) e. T )
371, 2, 3clatglble 17125 . . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ ( x ./\ W ) e. T ) -> ( G ` T ) .<_ ( x ./\ W ) )
3812, 37mp3an2 1412 . . . 4 |- ( ( K e. CLat /\ ( x ./\ W ) e. T ) -> ( G ` T ) .<_ ( x ./\ W ) )
3926, 36, 38syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( G ` T ) .<_ ( x ./\ W ) )
401, 2, 23latmle1 17076 . . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ x e. B /\ W e. B ) -> ( x ./\ W ) .<_ x )
416, 18, 22, 40syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( x ./\ W ) .<_ x )
421, 2, 6, 15, 25, 18, 39, 41lattrd 17058 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ x e. S ) -> ( G ` T ) .<_ x )
43 eqeq1 2626 . . . . . . . 8 |- ( u = w -> ( u = ( v ./\ W ) <-> w = ( v ./\ W ) ) )
4443rexbidv 3052 . . . . . . 7 |- ( u = w -> ( E. v e. S u = ( v ./\ W ) <-> E. v e. S w = ( v ./\ W ) ) )
45 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( v ./\ W ) = ( y ./\ W ) )
4645eqeq2d 2632 . . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( w = ( v ./\ W ) <-> w = ( y ./\ W ) ) )
4746cbvrexv 3172 . . . . . . 7 |- ( E. v e. S w = ( v ./\ W ) <-> E. y e. S w = ( y ./\ W ) )
4844, 47syl6bb 276 . . . . . 6 |- ( u = w -> ( E. v e. S u = ( v ./\ W ) <-> E. y e. S w = ( y ./\ W ) ) )
4948, 10elrab2 3366 . . . . 5 |- ( w e. T <-> ( w e. B /\ E. y e. S w = ( y ./\ W ) ) )
50 simp3 1063 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> y e. S )
51 simp13 1093 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> A. x e. S z .<_ x )
52 breq2 4657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( z .<_ x <-> z .<_ y ) )
5352rspcva 3307 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. S /\ A. x e. S z .<_ x ) -> z .<_ y )
5450, 51, 53syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ y )
55 simp11l 1172 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> K e. HL )
56553ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> K e. HL )
5756, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> K e. Lat )
58 simp12 1092 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z e. B )
5956, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> K e. CLat )
60 simp112 1191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> S C_ B )
611, 3clatglbcl 17114 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) e. B )
6259, 60, 61syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( G ` S ) e. B )
63 simp11r 1173 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> W e. H )
64633ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> W e. H )
6564, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> W e. B )
661, 2, 3clatleglb 17126 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CLat /\ z e. B /\ S C_ B ) -> ( z .<_ ( G ` S ) <-> A. x e. S z .<_ x ) )
6759, 58, 60, 66syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( z .<_ ( G ` S ) <-> A. x e. S z .<_ x ) )
6851, 67mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ ( G ` S ) )
69 simp113 1192 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( G ` S ) .<_ W )
701, 2, 57, 58, 62, 65, 68, 69lattrd 17058 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ W )
7160, 50sseldd 3604 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> y e. B )
721, 2, 23latlem12 17078 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ ( z e. B /\ y e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( z .<_ y /\ z .<_ W ) <-> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
7357, 58, 71, 65, 72syl13anc 1328 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> ( ( z .<_ y /\ z .<_ W ) <-> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
7454, 70, 73mpbi2and 956 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B /\ y e. S ) -> z .<_ ( y ./\ W ) )
75743expia 1267 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B ) -> ( y e. S -> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
76 breq2 4657 . . . . . . . . 9 |- ( w = ( y ./\ W ) -> ( z .<_ w <-> z .<_ ( y ./\ W ) ) )
7776biimprcd 240 . . . . . . . 8 |- ( z .<_ ( y ./\ W ) -> ( w = ( y ./\ W ) -> z .<_ w ) )
7875, 77syl6 35 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B ) -> ( y e. S -> ( w = ( y ./\ W ) -> z .<_ w ) ) )
7978rexlimdv 3030 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) /\ w e. B ) -> ( E. y e. S w = ( y ./\ W ) -> z .<_ w ) )
8079expimpd 629 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> ( ( w e. B /\ E. y e. S w = ( y ./\ W ) ) -> z .<_ w ) )
8149, 80syl5bi 232 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> ( w e. T -> z .<_ w ) )
8281ralrimiv 2965 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> A. w e. T z .<_ w )
8355, 8syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> K e. CLat )
84 simp2 1062 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> z e. B )
851, 2, 3clatleglb 17126 . . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ z e. B /\ T C_ B ) -> ( z .<_ ( G ` T ) <-> A. w e. T z .<_ w ) )
8612, 85mp3an3 1413 . . . 4 |- ( ( K e. CLat /\ z e. B ) -> ( z .<_ ( G ` T ) <-> A. w e. T z .<_ w ) )
8783, 84, 86syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> ( z .<_ ( G ` T ) <-> A. w e. T z .<_ w ) )
8882, 87mpbird 247 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) /\ z e. B /\ A. x e. S z .<_ x ) -> z .<_ ( G ` T ) )
89 simp2 1062 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> S C_ B )
901, 2, 3, 42, 88, 9, 89, 14isglbd 17117 1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ B /\ ( G ` S ) .<_ W ) -> ( G ` S ) = ( G ` T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   glbcglb 16943   meetcmee 16945   Latclat 17045   CLatccla 17107   HLchlt 34637   LHypclh 35270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046  df-clat 17108  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-lhyp 35274
This theorem is referenced by:  dihglblem3N  36584  dihglblem3aN  36585
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