Theorem prmirredlem 19841

Description: A positive integer is irreducible over ZZ iff it is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmirred.i	|- I = (Irred ` ℤring )

Assertion

Ref	Expression
prmirredlem	|- ( A e. NN -> ( A e. I <-> A e. Prime ) )

Proof of Theorem prmirredlem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 19821	. . . . . 6 |- ℤring e. Ring
2		prmirred.i	. . . . . . 7 |- I = (Irred ` ℤring )
3		zring1 19829	. . . . . . 7 |- 1 = ( 1r ` ℤring )
4	2, 3	irredn1 18706	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ A e. I ) -> A =/= 1 )
5	1, 4	mpan 706	. . . . 5 |- ( A e. I -> A =/= 1 )
6	5	anim2i 593	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ A e. I ) -> ( A e. NN /\ A =/= 1 ) )
7		eluz2b3 11762	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( A e. NN /\ A =/= 1 ) )
8	6, 7	sylibr 224	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ A e. I ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9		nnz 11399	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
10	9	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> y e. ZZ )
11		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> y || A )
12		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
13	12	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> y =/= 0 )
14		nnz 11399	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> A e. ZZ )
16		dvdsval2 14986	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( y || A <-> ( A / y ) e. ZZ ) )
17	10, 13, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( y || A <-> ( A / y ) e. ZZ ) )
18	11, 17	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( A / y ) e. ZZ )
19	15	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> A e. CC )
20		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. CC )
21	20	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> y e. CC )
22	19, 21, 13	divcan2d 10803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( y x. ( A / y ) ) = A )
23		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> A e. I )
24	22, 23	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( y x. ( A / y ) ) e. I )
25		zringbas 19824	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (Unit ` ℤring ) = (Unit ` ℤring )
27		zringmulr 19827	. . . . . . . 8 |- x. = ( .r ` ℤring )
28	2, 25, 26, 27	irredmul 18709	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ ( A / y ) e. ZZ /\ ( y x. ( A / y ) ) e. I ) -> ( y e. (Unit ` ℤring ) \/ ( A / y ) e. (Unit ` ℤring ) ) )
29	10, 18, 24, 28	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( y e. (Unit ` ℤring ) \/ ( A / y ) e. (Unit ` ℤring ) ) )
30		zringunit 19836	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. (Unit ` ℤring ) <-> ( y e. ZZ /\ ( abs ` y ) = 1 ) )
31	30	baib 944	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( y e. (Unit ` ℤring ) <-> ( abs ` y ) = 1 ) )
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( y e. (Unit ` ℤring ) <-> ( abs ` y ) = 1 ) )
33		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
34		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 -> y e. RR )
35		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
36	34, 35	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> ( abs ` y ) = y )
37	33, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( abs ` y ) = y )
38	37	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( abs ` y ) = y )
39	38	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( ( abs ` y ) = 1 <-> y = 1 ) )
40	32, 39	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( y e. (Unit ` ℤring ) <-> y = 1 ) )
41		zringunit 19836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / y ) e. (Unit ` ℤring ) <-> ( ( A / y ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A / y ) ) = 1 ) )
42	41	baib 944	. . . . . . . . 9 |- ( ( A / y ) e. ZZ -> ( ( A / y ) e. (Unit ` ℤring ) <-> ( abs ` ( A / y ) ) = 1 ) )
43	18, 42	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( ( A / y ) e. (Unit ` ℤring ) <-> ( abs ` ( A / y ) ) = 1 ) )
44		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> A e. RR )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> A e. RR )
46		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> y e. NN )
47	45, 46	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( A / y ) e. RR )
48		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
49		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> 0 <_ A )
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> 0 <_ A )
52	46	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> y e. RR )
53		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> 0 < y )
54	53	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> 0 < y )
55		divge0 10892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> 0 <_ ( A / y ) )
56	45, 51, 52, 54, 55	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> 0 <_ ( A / y ) )
57	47, 56	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( abs ` ( A / y ) ) = ( A / y ) )
58	57	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( ( abs ` ( A / y ) ) = 1 <-> ( A / y ) = 1 ) )
59		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> 1 e. CC )
60	19, 21, 59, 13	divmuld 10823	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( ( A / y ) = 1 <-> ( y x. 1 ) = A ) )
61	21	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( y x. 1 ) = y )
62	61	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( ( y x. 1 ) = A <-> y = A ) )
63	58, 60, 62	3bitrd 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( ( abs ` ( A / y ) ) = 1 <-> y = A ) )
64	43, 63	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( ( A / y ) e. (Unit ` ℤring ) <-> y = A ) )
65	40, 64	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( ( y e. (Unit ` ℤring ) \/ ( A / y ) e. (Unit ` ℤring ) ) <-> ( y = 1 \/ y = A ) ) )
66	29, 65	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ ( y e. NN /\ y || A ) ) -> ( y = 1 \/ y = A ) )
67	66	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ A e. I ) /\ y e. NN ) -> ( y || A -> ( y = 1 \/ y = A ) ) )
68	67	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ A e. I ) -> A. y e. NN ( y || A -> ( y = 1 \/ y = A ) ) )
69		isprm2 15395	. . 3 |- ( A e. Prime <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. y e. NN ( y || A -> ( y = 1 \/ y = A ) ) ) )
70	8, 68, 69	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( A e. NN /\ A e. I ) -> A e. Prime )
71		prmz 15389	. . . 4 |- ( A e. Prime -> A e. ZZ )
72		1nprm 15392	. . . . 5 |- -. 1 e. Prime
73		zringunit 19836	. . . . . 6 |- ( A e. (Unit ` ℤring ) <-> ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) = 1 ) )
74		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Prime -> A e. NN )
75		nn0re 11301	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
76	75, 49	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN0 -> ( abs ` A ) = A )
77	74, 48, 76	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Prime -> ( abs ` A ) = A )
78		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Prime -> A e. Prime )
79	77, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( A e. Prime -> ( abs ` A ) e. Prime )
80		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` A ) = 1 -> ( ( abs ` A ) e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
81	79, 80	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( A e. Prime -> ( ( abs ` A ) = 1 -> 1 e. Prime ) )
82	81	adantld 483	. . . . . 6 |- ( A e. Prime -> ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) = 1 ) -> 1 e. Prime ) )
83	73, 82	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( A e. Prime -> ( A e. (Unit ` ℤring ) -> 1 e. Prime ) )
84	72, 83	mtoi 190	. . . 4 |- ( A e. Prime -> -. A e. (Unit ` ℤring ) )
85		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> x e. ZZ )
86	85	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> x e. CC )
87	74	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> A e. NN )
88	87	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> A =/= 0 )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( x x. y ) = A )
90		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> y e. ZZ )
91	90	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> y e. CC )
92	91	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( 0 x. y ) = 0 )
93	88, 89, 92	3netr4d 2871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( x x. y ) =/= ( 0 x. y ) )
94		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( x x. y ) = ( 0 x. y ) )
95	94	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x x. y ) =/= ( 0 x. y ) -> x =/= 0 )
96	93, 95	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> x =/= 0 )
97	86, 96	absne0d 14186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` x ) =/= 0 )
98	97	neneqd 2799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> -. ( abs ` x ) = 0 )
99		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> ( abs ` x ) e. NN0 )
100	85, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` x ) e. NN0 )
101		elnn0 11294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` x ) e. NN0 <-> ( ( abs ` x ) e. NN \/ ( abs ` x ) = 0 ) )
102	100, 101	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( ( abs ` x ) e. NN \/ ( abs ` x ) = 0 ) )
103	102	ord 392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( -. ( abs ` x ) e. NN -> ( abs ` x ) = 0 ) )
104	98, 103	mt3d 140	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` x ) e. NN )
105	69	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Prime -> A. y e. NN ( y || A -> ( y = 1 \/ y = A ) ) )
106	105	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> A. y e. NN ( y || A -> ( y = 1 \/ y = A ) ) )
107		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x || ( x x. y ) )
108	107	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> x || ( x x. y ) )
109	108, 89	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> x || A )
110	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> A e. ZZ )
111		absdvdsb 15000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( x || A <-> ( abs ` x ) || A ) )
112	85, 110, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( x || A <-> ( abs ` x ) || A ) )
113	109, 112	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` x ) || A )
114		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` x ) -> ( y || A <-> ( abs ` x ) || A ) )
115		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` x ) -> ( y = 1 <-> ( abs ` x ) = 1 ) )
116		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` x ) -> ( y = A <-> ( abs ` x ) = A ) )
117	115, 116	orbi12d 746	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` x ) -> ( ( y = 1 \/ y = A ) <-> ( ( abs ` x ) = 1 \/ ( abs ` x ) = A ) ) )
118	114, 117	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( abs ` x ) -> ( ( y || A -> ( y = 1 \/ y = A ) ) <-> ( ( abs ` x ) || A -> ( ( abs ` x ) = 1 \/ ( abs ` x ) = A ) ) ) )
119	118	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` x ) e. NN -> ( A. y e. NN ( y || A -> ( y = 1 \/ y = A ) ) -> ( ( abs ` x ) || A -> ( ( abs ` x ) = 1 \/ ( abs ` x ) = A ) ) ) )
120	104, 106, 113, 119	syl3c 66	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( ( abs ` x ) = 1 \/ ( abs ` x ) = A ) )
121		zringunit 19836	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. (Unit ` ℤring ) <-> ( x e. ZZ /\ ( abs ` x ) = 1 ) )
122	121	baib 944	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> ( x e. (Unit ` ℤring ) <-> ( abs ` x ) = 1 ) )
123	85, 122	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( x e. (Unit ` ℤring ) <-> ( abs ` x ) = 1 ) )
124	90, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( y e. (Unit ` ℤring ) <-> ( abs ` y ) = 1 ) )
125	91	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` y ) e. RR )
126	125	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` y ) e. CC )
127		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> 1 e. CC )
128	86	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` x ) e. RR )
129	128	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` x ) e. CC )
130	126, 127, 129, 97	mulcand 10660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( ( ( abs ` x ) x. ( abs ` y ) ) = ( ( abs ` x ) x. 1 ) <-> ( abs ` y ) = 1 ) )
131	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` ( x x. y ) ) = ( abs ` A ) )
132	86, 91	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` ( x x. y ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( abs ` y ) ) )
133	77	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( abs ` A ) = A )
134	131, 132, 133	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( ( abs ` x ) x. ( abs ` y ) ) = A )
135	129	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( ( abs ` x ) x. 1 ) = ( abs ` x ) )
136	134, 135	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( ( ( abs ` x ) x. ( abs ` y ) ) = ( ( abs ` x ) x. 1 ) <-> A = ( abs ` x ) ) )
137		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( abs ` x ) <-> ( abs ` x ) = A )
138	136, 137	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( ( ( abs ` x ) x. ( abs ` y ) ) = ( ( abs ` x ) x. 1 ) <-> ( abs ` x ) = A ) )
139	124, 130, 138	3bitr2d 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( y e. (Unit ` ℤring ) <-> ( abs ` x ) = A ) )
140	123, 139	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( ( x e. (Unit ` ℤring ) \/ y e. (Unit ` ℤring ) ) <-> ( ( abs ` x ) = 1 \/ ( abs ` x ) = A ) ) )
141	120, 140	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( x x. y ) = A ) -> ( x e. (Unit ` ℤring ) \/ y e. (Unit ` ℤring ) ) )
142	141	ex 450	. . . . 5 |- ( ( A e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. y ) = A -> ( x e. (Unit ` ℤring ) \/ y e. (Unit ` ℤring ) ) ) )
143	142	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( A e. Prime -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( x x. y ) = A -> ( x e. (Unit ` ℤring ) \/ y e. (Unit ` ℤring ) ) ) )
144	25, 26, 2, 27	isirred2 18701	. . . 4 |- ( A e. I <-> ( A e. ZZ /\ -. A e. (Unit ` ℤring ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( ( x x. y ) = A -> ( x e. (Unit ` ℤring ) \/ y e. (Unit ` ℤring ) ) ) ) )
145	71, 84, 143, 144	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( A e. Prime -> A e. I )
146	145	adantl 482	. 2 |- ( ( A e. NN /\ A e. Prime ) -> A e. I )
147	70, 146	impbida 877	1 |- ( A e. NN -> ( A e. I <-> A e. Prime ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   abscabs 13974   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Ringcrg 18547  Unitcui 18639  Irredcir 18640  ℤ_ringzring 19818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-gz 15634  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-irred 18643  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819

This theorem is referenced by:  dfprm2  19842  prmirred  19843