Theorem islfl 34347

Description: The predicate "is a linear functional". (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflset.v	|- V = ( Base ` W )
lflset.a	|- .+ = ( +g ` W )
lflset.d	|- D = (Scalar ` W )
lflset.s	|- .x. = ( .s ` W )
lflset.k	|- K = ( Base ` D )
lflset.p	|- .+^ = ( +g ` D )
lflset.t	|- .X. = ( .r ` D )
lflset.f	|- F = (LFnl ` W )

Assertion

Ref	Expression
islfl	|- ( W e. X -> ( G e. F <-> ( G : V --> K /\ A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   K, r   x, y, V   x, r, y, W   G, r, x, y

Allowed substitution hints:   D( x, y, r)   .+ ( x, y, r)   .+^ ( x, y, r)   .x. ( x, y, r)   .X. ( x, y, r)   F( x, y, r)   K( x, y)   V( r)   X( x, y, r)

Proof of Theorem islfl

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflset.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
2		lflset.a	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
3		lflset.d	. . . 4 |- D = (Scalar ` W )
4		lflset.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
5		lflset.k	. . . 4 |- K = ( Base ` D )
6		lflset.p	. . . 4 |- .+^ = ( +g ` D )
7		lflset.t	. . . 4 |- .X. = ( .r ` D )
8		lflset.f	. . . 4 |- F = (LFnl ` W )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lflset 34346	. . 3 |- ( W e. X -> F = { f e. ( K ^m V ) | A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( f ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( f ` x ) ) .+^ ( f ` y ) ) } )
10	9	eleq2d 2687	. 2 |- ( W e. X -> ( G e. F <-> G e. { f e. ( K ^m V ) | A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( f ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( f ` x ) ) .+^ ( f ` y ) ) } ) )
11		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = G -> ( f ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) )
12		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = G -> ( f ` x ) = ( G ` x ) )
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( f = G -> ( r .X. ( f ` x ) ) = ( r .X. ( G ` x ) ) )
14		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = G -> ( f ` y ) = ( G ` y ) )
15	13, 14	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( f = G -> ( ( r .X. ( f ` x ) ) .+^ ( f ` y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) )
16	11, 15	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( f = G -> ( ( f ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( f ` x ) ) .+^ ( f ` y ) ) <-> ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) ) )
17	16	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( f = G -> ( A. x e. V A. y e. V ( f ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( f ` x ) ) .+^ ( f ` y ) ) <-> A. x e. V A. y e. V ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( f = G -> ( A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( f ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( f ` x ) ) .+^ ( f ` y ) ) <-> A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) ) )
19	18	elrab 3363	. . 3 |- ( G e. { f e. ( K ^m V ) | A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( f ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( f ` x ) ) .+^ ( f ` y ) ) } <-> ( G e. ( K ^m V ) /\ A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) ) )
20		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` D ) e. _V
21	5, 20	eqeltri 2697	. . . . 5 |- K e. _V
22		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) e. _V
23	1, 22	eqeltri 2697	. . . . 5 |- V e. _V
24	21, 23	elmap 7886	. . . 4 |- ( G e. ( K ^m V ) <-> G : V --> K )
25	24	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( G e. ( K ^m V ) /\ A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) ) <-> ( G : V --> K /\ A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) ) )
26	19, 25	bitri 264	. 2 |- ( G e. { f e. ( K ^m V ) | A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( f ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( f ` x ) ) .+^ ( f ` y ) ) } <-> ( G : V --> K /\ A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) ) )
27	10, 26	syl6bb 276	1 |- ( W e. X -> ( G e. F <-> ( G : V --> K /\ A. r e. K A. x e. V A. y e. V ( G ` ( ( r .x. x ) .+ y ) ) = ( ( r .X. ( G ` x ) ) .+^ ( G ` y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945  LFnlclfn 34344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-lfl 34345

This theorem is referenced by:  lfli  34348  islfld  34349  lflf  34350  lfl0f  34356  lfladdcl  34358  lflnegcl  34362  lshpkrcl  34403