Theorem lfladdcl 34358

Description: Closure of addition of two functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladdcl.r	|- R = (Scalar ` W )
lfladdcl.p	|- .+ = ( +g ` R )
lfladdcl.f	|- F = (LFnl ` W )
lfladdcl.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lfladdcl.g	|- ( ph -> G e. F )
lfladdcl.h	|- ( ph -> H e. F )

Assertion

Ref	Expression
lfladdcl	|- ( ph -> ( G oF .+ H ) e. F )

Proof of Theorem lfladdcl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfladdcl.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> W e. LMod )
3		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
4		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
5		lfladdcl.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` W )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7		lfladdcl.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
8	5, 6, 7	lmodacl 18874	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x .+ y ) e. ( Base ` R ) )
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x .+ y ) e. ( Base ` R ) )
10		lfladdcl.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. F )
11		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
12		lfladdcl.f	. . . . 5 |- F = (LFnl ` W )
13	5, 6, 11, 12	lflf 34350	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> G : ( Base ` W ) --> ( Base ` R ) )
14	1, 10, 13	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> G : ( Base ` W ) --> ( Base ` R ) )
15		lfladdcl.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. F )
16	5, 6, 11, 12	lflf 34350	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ H e. F ) -> H : ( Base ` W ) --> ( Base ` R ) )
17	1, 15, 16	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> H : ( Base ` W ) --> ( Base ` R ) )
18		fvexd 6203	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` W ) e. _V )
19		inidm 3822	. . 3 |- ( ( Base ` W ) i^i ( Base ` W ) ) = ( Base ` W )
20	9, 14, 17, 18, 18, 19	off 6912	. 2 |- ( ph -> ( G oF .+ H ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` R ) )
21	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> W e. LMod )
22		simpr1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
23		simpr2 1068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> y e. ( Base ` W ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
25	11, 5, 24, 6	lmodvscl 18880	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. ( Base ` W ) )
26	21, 22, 23, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. ( Base ` W ) )
27		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> z e. ( Base ` W ) )
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
29	11, 28	lmodvacl 18877	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( x ( .s ` W ) y ) e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) e. ( Base ` W ) )
30	21, 26, 27, 29	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) e. ( Base ` W ) )
31		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( G : ( Base ` W ) --> ( Base ` R ) -> G Fn ( Base ` W ) )
32	14, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G Fn ( Base ` W ) )
33		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( H : ( Base ` W ) --> ( Base ` R ) -> H Fn ( Base ` W ) )
34	17, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> H Fn ( Base ` W ) )
35		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) e. ( Base ` W ) ) -> ( G ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( G ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) )
36		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) e. ( Base ` W ) ) -> ( H ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( H ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) )
37	32, 34, 18, 18, 19, 35, 36	ofval 6906	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) e. ( Base ` W ) ) -> ( ( G oF .+ H ) ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( G ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) .+ ( H ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) )
38	30, 37	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( G oF .+ H ) ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( G ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) .+ ( H ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) )
39		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( G ` y ) = ( G ` y ) )
40		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` y ) )
41	32, 34, 18, 18, 19, 39, 40	ofval 6906	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( G oF .+ H ) ` y ) = ( ( G ` y ) .+ ( H ` y ) ) )
42	23, 41	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( G oF .+ H ) ` y ) = ( ( G ` y ) .+ ( H ` y ) ) )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( ( G oF .+ H ) ` y ) ) = ( x ( .r ` R ) ( ( G ` y ) .+ ( H ` y ) ) ) )
44		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
45		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( H ` z ) = ( H ` z ) )
46	32, 34, 18, 18, 19, 44, 45	ofval 6906	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( ( G oF .+ H ) ` z ) = ( ( G ` z ) .+ ( H ` z ) ) )
47	27, 46	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( G oF .+ H ) ` z ) = ( ( G ` z ) .+ ( H ` z ) ) )
48	43, 47	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) ( ( G oF .+ H ) ` y ) ) .+ ( ( G oF .+ H ) ` z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( ( G ` y ) .+ ( H ` y ) ) ) .+ ( ( G ` z ) .+ ( H ` z ) ) ) )
49	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> G e. F )
50	5, 7, 11, 28, 12	lfladd 34353	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( ( x ( .s ` W ) y ) e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( G ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( G ` z ) ) )
51	21, 49, 26, 27, 50	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( G ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( G ` z ) ) )
52	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> H e. F )
53	5, 7, 11, 28, 12	lfladd 34353	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ H e. F /\ ( ( x ( .s ` W ) y ) e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( H ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` z ) ) )
54	21, 52, 26, 27, 53	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( H ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` z ) ) )
55	51, 54	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( G ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) .+ ( H ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) = ( ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( G ` z ) ) .+ ( ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` z ) ) ) )
56	5	lmodring 18871	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> R e. Ring )
57	21, 56	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> R e. Ring )
58		ringcmn 18581	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> R e. CMnd )
60	5, 6, 11, 12	lflcl 34351	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( x ( .s ` W ) y ) e. ( Base ` W ) ) -> ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
61	21, 49, 26, 60	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
62	5, 6, 11, 12	lflcl 34351	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( G ` z ) e. ( Base ` R ) )
63	21, 49, 27, 62	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( G ` z ) e. ( Base ` R ) )
64	5, 6, 11, 12	lflcl 34351	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ H e. F /\ ( x ( .s ` W ) y ) e. ( Base ` W ) ) -> ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
65	21, 52, 26, 64	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) e. ( Base ` R ) )
66	5, 6, 11, 12	lflcl 34351	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ H e. F /\ z e. ( Base ` W ) ) -> ( H ` z ) e. ( Base ` R ) )
67	21, 52, 27, 66	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( H ` z ) e. ( Base ` R ) )
68	6, 7	cmn4 18212	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CMnd /\ ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` z ) e. ( Base ` R ) ) /\ ( ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( H ` z ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( G ` z ) ) .+ ( ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` z ) ) ) = ( ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) ) .+ ( ( G ` z ) .+ ( H ` z ) ) ) )
69	59, 61, 63, 65, 67, 68	syl122anc 1335	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( G ` z ) ) .+ ( ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` z ) ) ) = ( ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) ) .+ ( ( G ` z ) .+ ( H ` z ) ) ) )
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
71	5, 6, 70, 11, 24, 12	lflmul 34355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) = ( x ( .r ` R ) ( G ` y ) ) )
72	21, 49, 22, 23, 71	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) = ( x ( .r ` R ) ( G ` y ) ) )
73	5, 6, 70, 11, 24, 12	lflmul 34355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ H e. F /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) = ( x ( .r ` R ) ( H ` y ) ) )
74	21, 52, 22, 23, 73	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) = ( x ( .r ` R ) ( H ` y ) ) )
75	72, 74	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( G ` y ) ) .+ ( x ( .r ` R ) ( H ` y ) ) ) )
76	5, 6, 11, 12	lflcl 34351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` R ) )
77	21, 49, 23, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` R ) )
78	5, 6, 11, 12	lflcl 34351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ H e. F /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( H ` y ) e. ( Base ` R ) )
79	21, 52, 23, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( H ` y ) e. ( Base ` R ) )
80	6, 7, 70	ringdi 18566	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ ( G ` y ) e. ( Base ` R ) /\ ( H ` y ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( ( G ` y ) .+ ( H ` y ) ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( G ` y ) ) .+ ( x ( .r ` R ) ( H ` y ) ) ) )
81	57, 22, 77, 79, 80	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( ( G ` y ) .+ ( H ` y ) ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( G ` y ) ) .+ ( x ( .r ` R ) ( H ` y ) ) ) )
82	75, 81	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) ) = ( x ( .r ` R ) ( ( G ` y ) .+ ( H ` y ) ) ) )
83	82	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( G ` ( x ( .s ` W ) y ) ) .+ ( H ` ( x ( .s ` W ) y ) ) ) .+ ( ( G ` z ) .+ ( H ` z ) ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( ( G ` y ) .+ ( H ` y ) ) ) .+ ( ( G ` z ) .+ ( H ` z ) ) ) )
84	55, 69, 83	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( G ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) .+ ( H ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( ( G ` y ) .+ ( H ` y ) ) ) .+ ( ( G ` z ) .+ ( H ` z ) ) ) )
85	48, 84	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) ( ( G oF .+ H ) ` y ) ) .+ ( ( G oF .+ H ) ` z ) ) = ( ( G ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) .+ ( H ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) )
86	38, 85	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` W ) /\ z e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( G oF .+ H ) ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( ( G oF .+ H ) ` y ) ) .+ ( ( G oF .+ H ) ` z ) ) )
87	86	ralrimivvva 2972	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` W ) A. z e. ( Base ` W ) ( ( G oF .+ H ) ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( ( G oF .+ H ) ` y ) ) .+ ( ( G oF .+ H ) ` z ) ) )
88	11, 28, 5, 24, 6, 7, 70, 12	islfl 34347	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( ( G oF .+ H ) e. F <-> ( ( G oF .+ H ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` R ) /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` W ) A. z e. ( Base ` W ) ( ( G oF .+ H ) ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( ( G oF .+ H ) ` y ) ) .+ ( ( G oF .+ H ) ` z ) ) ) ) )
89	1, 88	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( G oF .+ H ) e. F <-> ( ( G oF .+ H ) : ( Base ` W ) --> ( Base ` R ) /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` W ) A. z e. ( Base ` W ) ( ( G oF .+ H ) ` ( ( x ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) ( ( G oF .+ H ) ` y ) ) .+ ( ( G oF .+ H ) ` z ) ) ) ) )
90	20, 87, 89	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( G oF .+ H ) e. F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  LFnlclfn 34344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lfl 34345

This theorem is referenced by:  ldualvaddcl  34417