Theorem lflnegcl 34362

Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 34433, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflnegcl.v	|- V = ( Base ` W )
lflnegcl.r	|- R = (Scalar ` W )
lflnegcl.i	|- I = ( invg ` R )
lflnegcl.n	|- N = ( x e. V |-> ( I ` ( G ` x ) ) )
lflnegcl.f	|- F = (LFnl ` W )
lflnegcl.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lflnegcl.g	|- ( ph -> G e. F )

Assertion

Ref	Expression
lflnegcl	|- ( ph -> N e. F )

Distinct variable groups:   x, G   x, I   x, R   x, V   x, W   ph, x

Allowed substitution hints:   F( x)   N( x)

Proof of Theorem lflnegcl

Dummy variables y k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflnegcl.w	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lflnegcl.r	. . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` W )
3	2	lmodring 18871	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> R e. Ring )
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Ring )
5		ringgrp 18552	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> R e. Grp )
8	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> W e. LMod )
9		lflnegcl.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. F )
10	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> G e. F )
11		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
13		lflnegcl.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
14		lflnegcl.f	. . . . . 6 |- F = (LFnl ` W )
15	2, 12, 13, 14	lflcl 34351	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ x e. V ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` R ) )
16	8, 10, 11, 15	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` R ) )
17		lflnegcl.i	. . . . 5 |- I = ( invg ` R )
18	12, 17	grpinvcl 17467	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( G ` x ) e. ( Base ` R ) ) -> ( I ` ( G ` x ) ) e. ( Base ` R ) )
19	7, 16, 18	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( I ` ( G ` x ) ) e. ( Base ` R ) )
20		lflnegcl.n	. . 3 |- N = ( x e. V |-> ( I ` ( G ` x ) ) )
21	19, 20	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> N : V --> ( Base ` R ) )
22		ringabl 18580	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. Abel )
23	4, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Abel )
24	23	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> R e. Abel )
25	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> R e. Ring )
26		simpr1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> k e. ( Base ` R ) )
27	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> W e. LMod )
28	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> G e. F )
29		simpr2 1068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. V )
30	2, 12, 13, 14	lflcl 34351	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ y e. V ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` R ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` R ) )
32		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
33	12, 32	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ k e. ( Base ` R ) /\ ( G ` y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) e. ( Base ` R ) )
34	25, 26, 31, 33	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) e. ( Base ` R ) )
35		simpr3 1069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
36	2, 12, 13, 14	lflcl 34351	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ z e. V ) -> ( G ` z ) e. ( Base ` R ) )
37	27, 28, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( G ` z ) e. ( Base ` R ) )
38		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
39	12, 38, 17	ablinvadd 18215	. . . . . 6 |- ( ( R e. Abel /\ ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( G ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( I ` ( ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) ( +g ` R ) ( G ` z ) ) ) = ( ( I ` ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) ) ( +g ` R ) ( I ` ( G ` z ) ) ) )
40	24, 34, 37, 39	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( I ` ( ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) ( +g ` R ) ( G ` z ) ) ) = ( ( I ` ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) ) ( +g ` R ) ( I ` ( G ` z ) ) ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
42		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
43	13, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14	lfli 34348	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( G ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) ( +g ` R ) ( G ` z ) ) )
44	27, 28, 26, 29, 35, 43	syl113anc 1338	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( G ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) ( +g ` R ) ( G ` z ) ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( I ` ( G ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) = ( I ` ( ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) ( +g ` R ) ( G ` z ) ) ) )
46	12, 32, 17, 25, 26, 31	ringmneg2 18597	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( k ( .r ` R ) ( I ` ( G ` y ) ) ) = ( I ` ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) ) )
47	46	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( k ( .r ` R ) ( I ` ( G ` y ) ) ) ( +g ` R ) ( I ` ( G ` z ) ) ) = ( ( I ` ( k ( .r ` R ) ( G ` y ) ) ) ( +g ` R ) ( I ` ( G ` z ) ) ) )
48	40, 45, 47	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( I ` ( G ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) = ( ( k ( .r ` R ) ( I ` ( G ` y ) ) ) ( +g ` R ) ( I ` ( G ` z ) ) ) )
49	13, 2, 42, 12	lmodvscl 18880	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ k e. ( Base ` R ) /\ y e. V ) -> ( k ( .s ` W ) y ) e. V )
50	27, 26, 29, 49	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( k ( .s ` W ) y ) e. V )
51	13, 41	lmodvacl 18877	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( k ( .s ` W ) y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) e. V )
52	27, 50, 35, 51	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) e. V )
53		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) -> ( I ` ( G ` x ) ) = ( I ` ( G ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) )
55		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( I ` ( G ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) e. _V
56	54, 20, 55	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) e. V -> ( N ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( I ` ( G ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) )
57	52, 56	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( N ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( I ` ( G ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
59	58	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( I ` ( G ` x ) ) = ( I ` ( G ` y ) ) )
60		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( I ` ( G ` y ) ) e. _V
61	59, 20, 60	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( y e. V -> ( N ` y ) = ( I ` ( G ` y ) ) )
62	29, 61	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( N ` y ) = ( I ` ( G ` y ) ) )
63	62	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( k ( .r ` R ) ( N ` y ) ) = ( k ( .r ` R ) ( I ` ( G ` y ) ) ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( I ` ( G ` x ) ) = ( I ` ( G ` z ) ) )
66		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( I ` ( G ` z ) ) e. _V
67	65, 20, 66	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( z e. V -> ( N ` z ) = ( I ` ( G ` z ) ) )
68	35, 67	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( N ` z ) = ( I ` ( G ` z ) ) )
69	63, 68	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( k ( .r ` R ) ( N ` y ) ) ( +g ` R ) ( N ` z ) ) = ( ( k ( .r ` R ) ( I ` ( G ` y ) ) ) ( +g ` R ) ( I ` ( G ` z ) ) ) )
70	48, 57, 69	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. ( Base ` R ) /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( N ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( k ( .r ` R ) ( N ` y ) ) ( +g ` R ) ( N ` z ) ) )
71	70	ralrimivvva 2972	. 2 |- ( ph -> A. k e. ( Base ` R ) A. y e. V A. z e. V ( N ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( k ( .r ` R ) ( N ` y ) ) ( +g ` R ) ( N ` z ) ) )
72	13, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14	islfl 34347	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( N e. F <-> ( N : V --> ( Base ` R ) /\ A. k e. ( Base ` R ) A. y e. V A. z e. V ( N ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( k ( .r ` R ) ( N ` y ) ) ( +g ` R ) ( N ` z ) ) ) ) )
73	1, 72	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( N e. F <-> ( N : V --> ( Base ` R ) /\ A. k e. ( Base ` R ) A. y e. V A. z e. V ( N ` ( ( k ( .s ` W ) y ) ( +g ` W ) z ) ) = ( ( k ( .r ` R ) ( N ` y ) ) ( +g ` R ) ( N ` z ) ) ) ) )
74	21, 71, 73	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> N e. F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   Abelcabl 18194   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  LFnlclfn 34344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lfl 34345

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  34432