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Theorem ismtybndlem 33605
Description: Lemma for ismtybnd 33606. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) -> N e. ( Bnd ` Y ) ) )
Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables w r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 33600 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. z e. X A. w e. X ( z M w ) = ( ( F ` z ) N ( F ` w ) ) ) ) )
21biimp3a 1432 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. z e. X A. w e. X ( z M w ) = ( ( F ` z ) N ( F ` w ) ) ) )
32simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 6149 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 6137 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> `' F : Y --> X )
76ffvelrnda 6359 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( `' F ` y ) e. X )
8 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) )
98eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
109rexbidv 3052 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F ` y ) -> ( E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
1110rspcv 3305 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' F ` y ) e. X -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
13 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . 11 |- ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> ( F " X ) = ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) )
14 f1ofo 6144 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
15 foima 6120 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -onto-> Y -> ( F " X ) = Y )
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F " X ) = Y )
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " X ) = Y )
18 rpxr 11840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* )
207, 19anim12dan 882 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( `' F ` y ) e. X /\ r e. RR* ) )
21 ismtyima 33602 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( ( `' F ` y ) e. X /\ r e. RR* ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) )
2220, 21syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) )
23 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Y /\ r e. RR+ ) -> y e. Y )
24 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
253, 23, 24syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2625oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` y ) ) ( ball ` N ) r ) = ( y ( ball ` N ) r ) )
2722, 26eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) = ( y ( ball ` N ) r ) )
2817, 27eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F " X ) = ( F " ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) ) <-> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
2913, 28syl5ib 234 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( y e. Y /\ r e. RR+ ) ) -> ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3029anassrs 680 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) /\ r e. RR+ ) -> ( X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3130reximdva 3017 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( E. r e. RR+ X = ( ( `' F ` y ) ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3212, 31syld 47 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ y e. Y ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
3332ralrimdva 2969 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
34 simp2 1062 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
3533, 34jctild 566 . . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) )
36353expib 1268 . . . 4 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) ) )
3736com12 32 . . 3 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( *Met ` X ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) ) )
3837impd 447 . 2 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) ) )
39 isbndx 33581 . 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
40 isbndx 33581 . 2 |- ( N e. ( Bnd ` Y ) <-> ( N e. ( *Met ` Y ) /\ A. y e. Y E. r e. RR+ Y = ( y ( ball ` N ) r ) ) )
4138, 39, 403imtr4g 285 1 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( M e. ( Bnd ` X ) -> N e. ( Bnd ` Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   Bndcbnd 33566   Ismty cismty 33597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-bnd 33578  df-ismty 33598
This theorem is referenced by:  ismtybnd  33606
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