Theorem ist1-2 21151

Description: An alternate characterization of T₁ spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ist1-2	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, o, J   o, X, x, y

Proof of Theorem ist1-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 20718	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	ist1 21125	. . . 4 |- ( J e. Fre <-> ( J e. Top /\ A. y e. U. J { y } e. ( Clsd ` J ) ) )
4	3	baib 944	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J e. Fre <-> A. y e. U. J { y } e. ( Clsd ` J ) ) )
5	1, 4	syl 17	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Fre <-> A. y e. U. J { y } e. ( Clsd ` J ) ) )
6		toponuni 20719	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7	6	raleqdv 3144	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. y e. X { y } e. ( Clsd ` J ) <-> A. y e. U. J { y } e. ( Clsd ` J ) ) )
8	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> J e. Top )
9		eltop2 20779	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( ( U. J \ { y } ) e. J <-> A. x e. ( U. J \ { y } ) E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> ( ( U. J \ { y } ) e. J <-> A. x e. ( U. J \ { y } ) E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) )
11	6	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( y e. X <-> y e. U. J ) )
12	11	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> y e. U. J )
13	12	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> { y } C_ U. J )
14	2	iscld2 20832	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ { y } C_ U. J ) -> ( { y } e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ { y } ) e. J ) )
15	8, 13, 14	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> ( { y } e. ( Clsd ` J ) <-> ( U. J \ { y } ) e. J ) )
16	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> X = U. J )
17	16	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> ( x e. X <-> x e. U. J ) )
18	17	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> ( ( x e. X -> ( x =/= y -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) ) <-> ( x e. U. J -> ( x =/= y -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) ) ) )
19		con1b 348	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. x = y -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) <-> ( -. E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) -> x = y ) )
20		df-ne 2795	. . . . . . . . . 10 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
21	20	imbi1i 339	. . . . . . . . 9 |- ( ( x =/= y -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) <-> ( -. x = y -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) )
22		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( o i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. o )
23		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( o e. J -> o C_ U. J )
24		reldisj 4020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( o C_ U. J -> ( ( o i^i { y } ) = (/) <-> o C_ ( U. J \ { y } ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o e. J -> ( ( o i^i { y } ) = (/) <-> o C_ ( U. J \ { y } ) ) )
26	22, 25	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o e. J -> ( -. y e. o <-> o C_ ( U. J \ { y } ) ) )
27	26	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o e. J -> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) <-> ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) )
28	27	rexbiia 3040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. o e. J ( x e. o /\ -. y e. o ) <-> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) )
29		rexanali 2998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. o e. J ( x e. o /\ -. y e. o ) <-> -. A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) )
30	28, 29	bitr3i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) <-> -. A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) )
31	30	con2bii 347	. . . . . . . . . 10 |- ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) <-> -. E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) )
32	31	imbi1i 339	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) <-> ( -. E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) -> x = y ) )
33	19, 21, 32	3bitr4ri 293	. . . . . . . 8 |- ( ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) <-> ( x =/= y -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) )
34	33	imbi2i 326	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X -> ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) <-> ( x e. X -> ( x =/= y -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) ) )
35		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( U. J \ { y } ) <-> ( x e. U. J /\ x =/= y ) )
36	35	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( U. J \ { y } ) -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) <-> ( ( x e. U. J /\ x =/= y ) -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) )
37		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. U. J /\ x =/= y ) -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) <-> ( x e. U. J -> ( x =/= y -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) ) )
38	36, 37	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( U. J \ { y } ) -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) <-> ( x e. U. J -> ( x =/= y -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) ) )
39	18, 34, 38	3bitr4g 303	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> ( ( x e. X -> ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) <-> ( x e. ( U. J \ { y } ) -> E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) ) )
40	39	ralbidv2 2984	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> ( A. x e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) <-> A. x e. ( U. J \ { y } ) E. o e. J ( x e. o /\ o C_ ( U. J \ { y } ) ) ) )
41	10, 15, 40	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ y e. X ) -> ( { y } e. ( Clsd ` J ) <-> A. x e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) )
42	41	ralbidva 2985	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. y e. X { y } e. ( Clsd ` J ) <-> A. y e. X A. x e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) )
43		ralcom 3098	. . 3 |- ( A. y e. X A. x e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) )
44	42, 43	syl6bb 276	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. y e. X { y } e. ( Clsd ` J ) <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) )
45	5, 7, 44	3bitr2d 296	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Frect1 21111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-t1 21118

This theorem is referenced by:  t1t0  21152  ist1-3  21153  haust1  21156  t1sep2  21173  isr0  21540  tgpt0  21922