Theorem isr0 21540

Description: The property " J is an R₀ space". A space is R₀ if any two topologically distinguishable points are separated (there is an open set containing each one and disjoint from the other). Or in contraposition, if every open set which contains x also contains y, so there is no separation, then x and y are members of the same open sets. We have chosen not to give this definition a name, because it turns out that a space is R₀ if and only if its Kolmogorov quotient is T₁, so that is what we prove here. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	|- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )

Assertion

Ref	Expression
isr0	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, o, x, y, z, J   o, F, w, z   o, X, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem isr0

Dummy variables a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kqval.2	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
2	1	kqid 21531	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
3	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
4		cnima 21069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( `' F " v ) e. J )
5	3, 4	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( `' F " v ) e. J )
6		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( `' F " v ) -> ( z e. o <-> z e. ( `' F " v ) ) )
7		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = ( `' F " v ) -> ( w e. o <-> w e. ( `' F " v ) ) )
8	6, 7	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( o = ( `' F " v ) -> ( ( z e. o -> w e. o ) <-> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
9	8	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " v ) e. J -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
11	1	kqffn 21528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F Fn X )
12	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> F Fn X )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> F Fn X )
14		fnfun 5988	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn X -> Fun F )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> Fun F )
16		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> z e. X )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> z e. X )
18		fndm 5990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn X -> dom F = X )
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> dom F = X )
20	17, 19	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> z e. dom F )
21		fvimacnv 6332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( ( F ` z ) e. v <-> z e. ( `' F " v ) ) )
22	15, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( ( F ` z ) e. v <-> z e. ( `' F " v ) ) )
23		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> w e. X )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> w e. X )
25	24, 19	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> w e. dom F )
26		fvimacnv 6332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ w e. dom F ) -> ( ( F ` w ) e. v <-> w e. ( `' F " v ) ) )
27	15, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( ( F ` w ) e. v <-> w e. ( `' F " v ) ) )
28	22, 27	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) <-> ( z e. ( `' F " v ) -> w e. ( `' F " v ) ) ) )
29	10, 28	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ v e. (KQ ` J ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
30	29	ralrimdva 2969	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
31		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> (KQ ` J ) e. Fre )
32		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn X /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
33	12, 16, 32	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) e. ran F )
34	1	kqtopon 21530	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
36		toponuni 20719	. . . . . . . . 9 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> ran F = U. (KQ ` J ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ran F = U. (KQ ` J ) )
38	33, 37	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) e. U. (KQ ` J ) )
39		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn X /\ w e. X ) -> ( F ` w ) e. ran F )
40	12, 23, 39	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` w ) e. ran F )
41	40, 37	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` w ) e. U. (KQ ` J ) )
42		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. (KQ ` J ) = U. (KQ ` J )
43	42	t1sep2 21173	. . . . . . 7 |- ( ( (KQ ` J ) e. Fre /\ ( F ` z ) e. U. (KQ ` J ) /\ ( F ` w ) e. U. (KQ ` J ) ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
44	31, 38, 41, 43	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
45	30, 44	syld 47	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
46	1	kqfeq 21527	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) ) )
47		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( z e. o <-> z e. y ) )
48		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( o = y -> ( w e. o <-> w e. y ) )
49	47, 48	bibi12d 335	. . . . . . . . 9 |- ( o = y -> ( ( z e. o <-> w e. o ) <-> ( z e. y <-> w e. y ) ) )
50	49	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) <-> A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) )
51	46, 50	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
52	51	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
53	52	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
54	45, 53	sylibd 229	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
55	54	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
56	55	ex 450	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre -> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) ) )
57		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
58	1	kqopn 21537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) -> ( F " o ) e. (KQ ` J ) )
59	57, 58	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( F " o ) e. (KQ ` J ) )
60		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( F " o ) -> ( ( F ` z ) e. v <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
61		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( F " o ) -> ( ( F ` w ) e. v <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
62	60, 61	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( F " o ) -> ( ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) <-> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
63	62	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " o ) e. (KQ ` J ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
64	59, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
65	1	kqfvima 21533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J /\ z e. X ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
66	65	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) /\ z e. X ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
67	66	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ o e. J ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
68	67	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( z e. o <-> ( F ` z ) e. ( F " o ) ) )
69	1	kqfvima 21533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J /\ w e. X ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
70	69	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ o e. J ) /\ w e. X ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
71	70	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
72	71	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( w e. o <-> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) )
73	68, 72	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( ( z e. o -> w e. o ) <-> ( ( F ` z ) e. ( F " o ) -> ( F ` w ) e. ( F " o ) ) ) )
74	64, 73	sylibrd 249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) /\ o e. J ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( z e. o -> w e. o ) ) )
75	74	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) ) )
76	1	kqfval 21526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = { y e. J | z e. y } )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( F ` z ) = { y e. J | z e. y } )
78	1	kqfval 21526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) = { y e. J | w e. y } )
79	78	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( F ` w ) = { y e. J | w e. y } )
80	77, 79	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> { y e. J | z e. y } = { y e. J | w e. y } ) )
81		rabbi 3120	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. J ( z e. y <-> w e. y ) <-> { y e. J | z e. y } = { y e. J | w e. y } )
82	50, 81	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) <-> { y e. J | z e. y } = { y e. J | w e. y } )
83	80, 82	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) )
84	83	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
85	75, 84	imim12d 81	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
86	85	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. X ) -> ( A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
87	86	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
88		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( F ` z ) -> ( a e. v <-> ( F ` z ) e. v ) )
89	88	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( F ` z ) -> ( ( a e. v -> b e. v ) <-> ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) ) )
90	89	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( F ` z ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) <-> A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) ) )
91		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( F ` z ) -> ( a = b <-> ( F ` z ) = b ) )
92	90, 91	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( a = ( F ` z ) -> ( ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) ) )
93	92	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( a = ( F ` z ) -> ( A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) ) )
94	93	ralrn 6362	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. z e. X A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) ) )
95		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( F ` w ) -> ( b e. v <-> ( F ` w ) e. v ) )
96	95	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) <-> ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
97	96	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( F ` w ) -> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) <-> A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) ) )
98		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( F ` z ) = b <-> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
99	97, 98	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( b = ( F ` w ) -> ( ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) <-> ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
100	99	ralrn 6362	. . . . . . 7 |- ( F Fn X -> ( A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) <-> A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
101	100	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( A. z e. X A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> b e. v ) -> ( F ` z ) = b ) <-> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
102	94, 101	bitrd 268	. . . . 5 |- ( F Fn X -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
103	11, 102	syl 17	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) <-> A. z e. X A. w e. X ( A. v e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. v -> ( F ` w ) e. v ) -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) ) )
104	87, 103	sylibrd 249	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) ) )
105		ist1-2 21151	. . . 4 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) ) )
106	34, 105	syl 17	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. a e. ran F A. b e. ran F ( A. v e. (KQ ` J ) ( a e. v -> b e. v ) -> a = b ) ) )
107	104, 106	sylibrd 249	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) -> (KQ ` J ) e. Fre ) )
108	56, 107	impbid 202	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( (KQ ` J ) e. Fre <-> A. z e. X A. w e. X ( A. o e. J ( z e. o -> w e. o ) -> A. o e. J ( z e. o <-> w e. o ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Frect1 21111  KQckq 21496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-topgen 16104  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cn 21031  df-t1 21118  df-kq 21497

This theorem is referenced by:  r0sep  21551