Theorem toponmax 20730

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	|- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 20719	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B = U. J )
2		topontop 20718	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
3		eqid 2622	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	topopn 20711	. . 3 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	2, 4	syl 17	. 2 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> U. J e. J )
6	1, 5	eqeltrd 2701	1 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-top 20699  df-topon 20716

This theorem is referenced by:  topgele  20734  eltpsg  20747  en2top  20789  resttopon  20965  ordtrest  21006  ordtrest2lem  21007  ordtrest2  21008  lmfval  21036  cnpfval  21038  iscn  21039  iscnp  21041  lmbrf  21064  cncls  21078  cnconst2  21087  cnrest2  21090  cndis  21095  cnindis  21096  cnpdis  21097  lmfss  21100  lmres  21104  lmff  21105  ist1-3  21153  connsuba  21223  unconn  21232  kgenval  21338  elkgen  21339  kgentopon  21341  pttoponconst  21400  tx1cn  21412  tx2cn  21413  ptcls  21419  xkoccn  21422  txlm  21451  cnmpt2res  21480  xkoinjcn  21490  qtoprest  21520  ordthmeolem  21604  pt1hmeo  21609  xkocnv  21617  flimclslem  21788  flfval  21794  flfnei  21795  isflf  21797  flfcnp  21808  txflf  21810  supnfcls  21824  fclscf  21829  fclscmp  21834  fcfval  21837  isfcf  21838  uffcfflf  21843  cnpfcf  21845  mopnm  22249  isxms2  22253  prdsxmslem2  22334  bcth2  23127  dvmptid  23720  dvmptc  23721  dvtaylp  24124  taylthlem1  24127  taylthlem2  24128  pige3  24269  dvcxp1  24481  cxpcn3  24489  ordtrestNEW  29967  ordtrest2NEWlem  29968  ordtrest2NEW  29969  topjoin  32360  areacirclem1  33500