Theorem lbinf 10976

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinf	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )

Distinct variable group:   x, S, y

Proof of Theorem lbinf

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 10118	. . 3 |- < Or RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> < Or RR )
3		lbcl 10974	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S )
4		ssel 3597	. . . 4 |- ( S C_ RR -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR ) )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. S -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR ) )
6	3, 5	mpd 15	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) e. RR )
8		ssel2 3598	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ z e. S ) -> z e. RR )
9	8	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> z e. RR )
10		lble 10975	. . . 4 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ z )
11	10	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ z )
12	7, 9, 11	lensymd 10188	. 2 |- ( ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) /\ z e. S ) -> -. z < ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
13	2, 6, 3, 12	infmin 8400	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Or wor 5034   iota_crio 6610  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  lbinfcl  10977  lbinfle  10978