Theorem lensymd 10188

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
lensymd.3	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lensymd	|- ( ph -> -. B < A )

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 10183	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbid 222	1 |- ( ph -> -. B < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-xr 10078  df-le 10080

This theorem is referenced by:  lbinf  10976  infmrp1  12174  addmodlteq  12745  ccatalpha  13375  lcmgcdlem  15319  nmoleub2lem3  22915  pntlem3  25298  unblimceq0lem  32497  mblfinlem2  33447  imo72b2  38475  climisp  39978  stoweidlem52  40269  fourierdlem10  40334  fourierdlem12  40336  fourierdlem20  40344  fourierdlem50  40373  fourierdlem54  40377  fourierdlem103  40426  fouriersw  40448  etransclem35  40486  etransc  40500