Theorem ltso 10118

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	|- < Or RR

Proof of Theorem ltso

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 10109	. 2 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y <-> -. ( x = y \/ y < x ) ) )
2		lttr 10114	. 2 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
3	1, 2	isso2i 5067	1 |- < Or RR

Syntax hints:   Or wor 5034   RRcr 9935   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  gtso  10119  lttri2  10120  lttri3  10121  lttri4  10122  ltnr  10132  ltnsym2  10136  fimaxre  10968  lbinf  10976  suprcl  10983  suprub  10984  suprlub  10987  infrecl  11005  infregelb  11007  infrelb  11008  supfirege  11009  suprfinzcl  11492  uzinfi  11768  suprzcl2  11778  suprzub  11779  2resupmax  12019  infmrp1  12174  fseqsupcl  12776  ssnn0fi  12784  fsuppmapnn0fiublem  12789  isercolllem1  14395  isercolllem2  14396  summolem2  14447  zsum  14449  fsumcvg3  14460  mertenslem2  14617  prodmolem2  14665  zprod  14667  cnso  14976  gcdval  15218  dfgcd2  15263  lcmval  15305  lcmgcdlem  15319  odzval  15496  pczpre  15552  prmreclem1  15620  ramz  15729  odval  17953  odf  17956  gexval  17993  gsumval3  18308  retos  19964  mbfsup  23431  mbfinf  23432  itg2monolem1  23517  itg2mono  23520  dvgt0lem2  23766  dvgt0  23767  plyeq0lem  23966  dgrval  23984  dgrcl  23989  dgrub  23990  dgrlb  23992  elqaalem1  24074  elqaalem3  24076  aalioulem2  24088  logccv  24409  ex-po  27292  ssnnssfz  29549  lmdvg  29999  oddpwdc  30416  ballotlemi  30562  ballotlemiex  30563  ballotlemsup  30566  ballotlemimin  30567  ballotlemfrcn0  30591  ballotlemirc  30593  erdszelem3  31175  erdszelem4  31176  erdszelem5  31177  erdszelem6  31178  erdszelem8  31180  erdszelem9  31181  erdszelem11  31183  erdsze2lem1  31185  erdsze2lem2  31186  supfz  31613  inffz  31614  inffzOLD  31615  gtinf  32313  ptrecube  33409  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  heicant  33444  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  ismblfin  33450  incsequz2  33545  totbndbnd  33588  prdsbnd  33592  pellfundval  37444  dgraaval  37714  dgraaf  37717  fzisoeu  39514  uzublem  39657  infrglb  39822  limsupubuzlem  39944  fourierdlem25  40349  fourierdlem31  40355  fourierdlem36  40360  fourierdlem37  40361  fourierdlem42  40366  fourierdlem79  40402  ioorrnopnlem  40524  hoicvr  40762  hoidmvlelem2  40810  iunhoiioolem  40889  vonioolem1  40894  prmdvdsfmtnof1lem1  41496  prmdvdsfmtnof  41498  prmdvdsfmtnof1  41499  ssnn0ssfz  42127