Theorem lhpoc2N 35301

Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpoc.b	|- B = ( Base ` K )
lhpoc.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
lhpoc.a	|- A = ( Atoms ` K )
lhpoc.h	|- H = ( LHyp ` K )

Assertion

Ref	Expression
lhpoc2N	|- ( ( K e. HL /\ W e. B ) -> ( W e. A <-> ( ._|_ ` W ) e. H ) )

Proof of Theorem lhpoc2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 34649	. . . 4 |- ( K e. HL -> K e. OP )
2		lhpoc.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
3		lhpoc.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
4	2, 3	opoccl 34481	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ W e. B ) -> ( ._|_ ` W ) e. B )
5	1, 4	sylan 488	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. B ) -> ( ._|_ ` W ) e. B )
6		lhpoc.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
7		lhpoc.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
8	2, 3, 6, 7	lhpoc 35300	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` W ) e. B ) -> ( ( ._|_ ` W ) e. H <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` W ) ) e. A ) )
9	5, 8	syldan 487	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. B ) -> ( ( ._|_ ` W ) e. H <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` W ) ) e. A ) )
10	2, 3	opococ 34482	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ W e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` W ) ) = W )
11	1, 10	sylan 488	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` W ) ) = W )
12	11	eleq1d 2686	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` W ) ) e. A <-> W e. A ) )
13	9, 12	bitr2d 269	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. B ) -> ( W e. A <-> ( ._|_ ` W ) e. H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   occoc 15949   OPcops 34459   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-p0 17039  df-p1 17040  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-hlat 34638  df-lhyp 35274

This theorem is referenced by:  lhprelat3N  35326