Theorem limuni3 7052

Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
limuni3	|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Lim U. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem limuni3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limeq 5735	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( Lim x <-> Lim z ) )
2	1	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> Lim z ) )
3		vex 3203	. . . . . . 7 |- z e. _V
4		limelon 5788	. . . . . . 7 |- ( ( z e. _V /\ Lim z ) -> z e. On )
5	3, 4	mpan 706	. . . . . 6 |- ( Lim z -> z e. On )
6	2, 5	syl6com 37	. . . . 5 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> z e. On ) )
7	6	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( A. x e. A Lim x -> A C_ On )
8		ssorduni 6985	. . . 4 |- ( A C_ On -> Ord U. A )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( A. x e. A Lim x -> Ord U. A )
10	9	adantl 482	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Ord U. A )
11		n0 3931	. . . 4 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
12		0ellim 5787	. . . . . . 7 |- ( Lim z -> (/) e. z )
13		elunii 4441	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. z /\ z e. A ) -> (/) e. U. A )
14	13	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( (/) e. z -> (/) e. U. A ) )
15	12, 14	syl5 34	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( Lim z -> (/) e. U. A ) )
16	2, 15	syld 47	. . . . 5 |- ( z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
17	16	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
18	11, 17	sylbi 207	. . 3 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
19	18	imp 445	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> (/) e. U. A )
20		eluni2 4440	. . . . 5 |- ( y e. U. A <-> E. z e. A y e. z )
21	1	rspccv 3306	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> Lim z ) )
22		limsuc 7049	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim z -> ( y e. z <-> suc y e. z ) )
23	22	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim z -> ( ( y e. z /\ z e. A ) <-> ( suc y e. z /\ z e. A ) ) )
24		elunii 4441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. z /\ z e. A ) -> suc y e. U. A )
25	23, 24	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( Lim z -> ( ( y e. z /\ z e. A ) -> suc y e. U. A ) )
26	25	expd 452	. . . . . . . 8 |- ( Lim z -> ( y e. z -> ( z e. A -> suc y e. U. A ) ) )
27	26	com3r 87	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( Lim z -> ( y e. z -> suc y e. U. A ) ) )
28	21, 27	sylcom 30	. . . . . 6 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> ( y e. z -> suc y e. U. A ) ) )
29	28	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( A. x e. A Lim x -> ( E. z e. A y e. z -> suc y e. U. A ) )
30	20, 29	syl5bi 232	. . . 4 |- ( A. x e. A Lim x -> ( y e. U. A -> suc y e. U. A ) )
31	30	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( A. x e. A Lim x -> A. y e. U. A suc y e. U. A )
32	31	adantl 482	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> A. y e. U. A suc y e. U. A )
33		dflim4 7048	. 2 |- ( Lim U. A <-> ( Ord U. A /\ (/) e. U. A /\ A. y e. U. A suc y e. U. A ) )
34	10, 19, 32, 33	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Lim U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729

This theorem is referenced by: (None)