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Theorem lnocoi 27612
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnocoi.l |- L = ( U LnOp W )
lnocoi.m |- M = ( W LnOp X )
lnocoi.n |- N = ( U LnOp X )
lnocoi.u |- U e. NrmCVec
lnocoi.w |- W e. NrmCVec
lnocoi.x |- X e. NrmCVec
lnocoi.s |- S e. L
lnocoi.t |- T e. M
Assertion
Ref Expression
lnocoi |- ( T o. S ) e. N
Proof of Theorem lnocoi
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnocoi.w . . . 4 |- W e. NrmCVec
2 lnocoi.x . . . 4 |- X e. NrmCVec
3 lnocoi.t . . . 4 |- T e. M
4 eqid 2622 . . . . 5 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
5 eqid 2622 . . . . 5 |- ( BaseSet ` X ) = ( BaseSet ` X )
6 lnocoi.m . . . . 5 |- M = ( W LnOp X )
74, 5, 6lnof 27610 . . . 4 |- ( ( W e. NrmCVec /\ X e. NrmCVec /\ T e. M ) -> T : ( BaseSet ` W ) --> ( BaseSet ` X ) )
81, 2, 3, 7mp3an 1424 . . 3 |- T : ( BaseSet ` W ) --> ( BaseSet ` X )
9 lnocoi.u . . . 4 |- U e. NrmCVec
10 lnocoi.s . . . 4 |- S e. L
11 eqid 2622 . . . . 5 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U )
12 lnocoi.l . . . . 5 |- L = ( U LnOp W )
1311, 4, 12lnof 27610 . . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ S e. L ) -> S : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` W ) )
149, 1, 10, 13mp3an 1424 . . 3 |- S : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` W )
15 fco 6058 . . 3 |- ( ( T : ( BaseSet ` W ) --> ( BaseSet ` X ) /\ S : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` W ) ) -> ( T o. S ) : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` X ) )
168, 14, 15mp2an 708 . 2 |- ( T o. S ) : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` X )
17 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
1811, 17nvscl 27481 . . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x ( .sOLD ` U ) y ) e. ( BaseSet ` U ) )
199, 18mp3an1 1411 . . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x ( .sOLD ` U ) y ) e. ( BaseSet ` U ) )
20 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
2111, 20nvgcl 27475 . . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x ( .sOLD ` U ) y ) e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) )
229, 21mp3an1 1411 . . . . . 6 |- ( ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) )
2319, 22stoic3 1701 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) )
24 fvco3 6275 . . . . 5 |- ( ( S : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` W ) /\ ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( T o. S ) ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( T ` ( S ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) ) )
2514, 23, 24sylancr 695 . . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( T o. S ) ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( T ` ( S ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) ) )
26 id 22 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> x e. CC )
2714ffvelrni 6358 . . . . . 6 |- ( y e. ( BaseSet ` U ) -> ( S ` y ) e. ( BaseSet ` W ) )
2814ffvelrni 6358 . . . . . 6 |- ( z e. ( BaseSet ` U ) -> ( S ` z ) e. ( BaseSet ` W ) )
291, 2, 33pm3.2i 1239 . . . . . . 7 |- ( W e. NrmCVec /\ X e. NrmCVec /\ T e. M )
30 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( +v ` W ) = ( +v ` W )
31 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( +v ` X ) = ( +v ` X )
32 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
33 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( .sOLD ` X ) = ( .sOLD ` X )
344, 5, 30, 31, 32, 33, 6lnolin 27609 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. NrmCVec /\ X e. NrmCVec /\ T e. M ) /\ ( x e. CC /\ ( S ` y ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( S ` z ) e. ( BaseSet ` W ) ) ) -> ( T ` ( ( x ( .sOLD ` W ) ( S ` y ) ) ( +v ` W ) ( S ` z ) ) ) = ( ( x ( .sOLD ` X ) ( T ` ( S ` y ) ) ) ( +v ` X ) ( T ` ( S ` z ) ) ) )
3529, 34mpan 706 . . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ ( S ` y ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( S ` z ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( T ` ( ( x ( .sOLD ` W ) ( S ` y ) ) ( +v ` W ) ( S ` z ) ) ) = ( ( x ( .sOLD ` X ) ( T ` ( S ` y ) ) ) ( +v ` X ) ( T ` ( S ` z ) ) ) )
3626, 27, 28, 35syl3an 1368 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( T ` ( ( x ( .sOLD ` W ) ( S ` y ) ) ( +v ` W ) ( S ` z ) ) ) = ( ( x ( .sOLD ` X ) ( T ` ( S ` y ) ) ) ( +v ` X ) ( T ` ( S ` z ) ) ) )
379, 1, 103pm3.2i 1239 . . . . . . 7 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ S e. L )
3811, 4, 20, 30, 17, 32, 12lnolin 27609 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ S e. L ) /\ ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( S ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` W ) ( S ` y ) ) ( +v ` W ) ( S ` z ) ) )
3937, 38mpan 706 . . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( S ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` W ) ( S ` y ) ) ( +v ` W ) ( S ` z ) ) )
4039fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( T ` ( S ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) ) = ( T ` ( ( x ( .sOLD ` W ) ( S ` y ) ) ( +v ` W ) ( S ` z ) ) ) )
41 simp2 1062 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> y e. ( BaseSet ` U ) )
42 fvco3 6275 . . . . . . . 8 |- ( ( S : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` W ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( T o. S ) ` y ) = ( T ` ( S ` y ) ) )
4314, 41, 42sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( T o. S ) ` y ) = ( T ` ( S ` y ) ) )
4443oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x ( .sOLD ` X ) ( ( T o. S ) ` y ) ) = ( x ( .sOLD ` X ) ( T ` ( S ` y ) ) ) )
45 simp3 1063 . . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> z e. ( BaseSet ` U ) )
46 fvco3 6275 . . . . . . 7 |- ( ( S : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` W ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( T o. S ) ` z ) = ( T ` ( S ` z ) ) )
4714, 45, 46sylancr 695 . . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( T o. S ) ` z ) = ( T ` ( S ` z ) ) )
4844, 47oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` X ) ( ( T o. S ) ` y ) ) ( +v ` X ) ( ( T o. S ) ` z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` X ) ( T ` ( S ` y ) ) ) ( +v ` X ) ( T ` ( S ` z ) ) ) )
4936, 40, 483eqtr4rd 2667 . . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( x ( .sOLD ` X ) ( ( T o. S ) ` y ) ) ( +v ` X ) ( ( T o. S ) ` z ) ) = ( T ` ( S ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) ) )
5025, 49eqtr4d 2659 . . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( T o. S ) ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` X ) ( ( T o. S ) ` y ) ) ( +v ` X ) ( ( T o. S ) ` z ) ) )
5150rgen3 2976 . 2 |- A. x e. CC A. y e. ( BaseSet ` U ) A. z e. ( BaseSet ` U ) ( ( T o. S ) ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` X ) ( ( T o. S ) ` y ) ) ( +v ` X ) ( ( T o. S ) ` z ) )
52 lnocoi.n . . . 4 |- N = ( U LnOp X )
5311, 5, 20, 31, 17, 33, 52islno 27608 . . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ X e. NrmCVec ) -> ( ( T o. S ) e. N <-> ( ( T o. S ) : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` X ) /\ A. x e. CC A. y e. ( BaseSet ` U ) A. z e. ( BaseSet ` U ) ( ( T o. S ) ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` X ) ( ( T o. S ) ` y ) ) ( +v ` X ) ( ( T o. S ) ` z ) ) ) ) )
549, 2, 53mp2an 708 . 2 |- ( ( T o. S ) e. N <-> ( ( T o. S ) : ( BaseSet ` U ) --> ( BaseSet ` X ) /\ A. x e. CC A. y e. ( BaseSet ` U ) A. z e. ( BaseSet ` U ) ( ( T o. S ) ` ( ( x ( .sOLD ` U ) y ) ( +v ` U ) z ) ) = ( ( x ( .sOLD ` X ) ( ( T o. S ) ` y ) ) ( +v ` X ) ( ( T o. S ) ` z ) ) ) )
5516, 51, 54mpbir2an 955 1 |- ( T o. S ) e. N
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   LnOp clno 27595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599
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