Theorem nvgcl 27475

Description: Closure law for the vector addition (group) operation of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nvgcl.2	|- G = ( +v ` U )

Assertion

Ref	Expression
nvgcl	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )

Proof of Theorem nvgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.2	. . 3 |- G = ( +v ` U )
2	1	nvgrp 27472	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> G e. GrpOp )
3		nvgcl.1	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
4	3, 1	bafval 27459	. . 3 |- X = ran G
5	4	grpocl 27354	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
6	2, 5	syl3an1 1359	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455

This theorem is referenced by:  nvmf  27500  nvpncan2  27508  nvaddsub4  27512  nvdif  27521  nvpi  27522  nvabs  27527  imsmetlem  27545  vacn  27549  ipval2lem2  27559  4ipval2  27563  lnocoi  27612  0lno  27645  blocnilem  27659  ip0i  27680  ip1ilem  27681  ip2i  27683  ipdirilem  27684  ipasslem10  27694  dipdi  27698  ip2dii  27699  pythi  27705  sspph  27710  ipblnfi  27711  ubthlem2  27727  minvecolem2  27731  hhshsslem2  28125