Theorem nvscl 27481

Description: Closure law for the scalar product operation of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvscl.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nvscl.4	|- S = ( .sOLD ` U )

Assertion

Ref	Expression
nvscl	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. CC /\ B e. X ) -> ( A S B ) e. X )

Proof of Theorem nvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( 1st ` U ) = ( 1st ` U )
2	1	nvvc 27470	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> ( 1st ` U ) e. CVecOLD )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
4	3	vafval 27458	. . 3 |- ( +v ` U ) = ( 1st ` ( 1st ` U ) )
5		nvscl.4	. . . 4 |- S = ( .sOLD ` U )
6	5	smfval 27460	. . 3 |- S = ( 2nd ` ( 1st ` U ) )
7		nvscl.1	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
8	7, 3	bafval 27459	. . 3 |- X = ran ( +v ` U )
9	4, 6, 8	vccl 27418	. 2 |- ( ( ( 1st ` U ) e. CVecOLD /\ A e. CC /\ B e. X ) -> ( A S B ) e. X )
10	2, 9	syl3an1 1359	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. CC /\ B e. X ) -> ( A S B ) e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   CCcc 9934   CVecOLDcvc 27413   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455

This theorem is referenced by:  nvmval2  27498  nvmf  27500  nvmdi  27503  nvnegneg  27504  nvpncan2  27508  nvaddsub4  27512  nvdif  27521  nvpi  27522  nvmtri  27526  nvabs  27527  nvge0  27528  imsmetlem  27545  smcnlem  27552  ipval2lem2  27559  4ipval2  27563  ipval3  27564  sspmval  27588  lnocoi  27612  lnomul  27615  0lno  27645  nmlno0lem  27648  nmblolbii  27654  blocnilem  27659  ip0i  27680  ip1ilem  27681  ipdirilem  27684  ipasslem1  27686  ipasslem2  27687  ipasslem4  27689  ipasslem5  27690  ipasslem8  27692  ipasslem9  27693  ipasslem10  27694  ipasslem11  27695  dipassr  27701  dipsubdir  27703  siilem1  27706  ipblnfi  27711  ubthlem2  27727  minvecolem2  27731  hhshsslem2  28125