Theorem lnopmi 28859

Description: The scalar product of a linear operator is a linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnopm.1	|- T e. LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopmi	|- ( A e. CC -> ( A .op T ) e. LinOp )

Proof of Theorem lnopmi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopm.1	. . . 4 |- T e. LinOp
2	1	lnopfi 28828	. . 3 |- T : ~H --> ~H
3		homulcl 28618	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ T : ~H --> ~H ) -> ( A .op T ) : ~H --> ~H )
4	2, 3	mpan2 707	. 2 |- ( A e. CC -> ( A .op T ) : ~H --> ~H )
5		hvmulcl 27870	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
6		hvaddcl 27869	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
7	5, 6	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
8		homval 28600	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ T : ~H --> ~H /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H ) -> ( ( A .op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( A .h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
9	2, 8	mp3an2 1412	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H ) -> ( ( A .op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( A .h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
10	7, 9	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( A .op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( A .h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
11		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A e. CC )
12	2	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( T ` y ) e. ~H )
13		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
14	12, 13	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
15	2	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~H -> ( T ` z ) e. ~H )
16		ax-hvdistr1 27865	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H /\ ( T ` z ) e. ~H ) -> ( A .h ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) = ( ( A .h ( x .h ( T ` y ) ) ) +h ( A .h ( T ` z ) ) ) )
17	11, 14, 15, 16	syl3an 1368	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( A .h ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) = ( ( A .h ( x .h ( T ` y ) ) ) +h ( A .h ( T ` z ) ) ) )
18	17	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( A .h ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) = ( ( A .h ( x .h ( T ` y ) ) ) +h ( A .h ( T ` z ) ) ) )
19	1	lnopli 28827	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) )
20	19	3expa 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( A .h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( A .h ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( A .h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( A .h ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
23		homval 28600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( A .op T ) ` y ) = ( A .h ( T ` y ) ) )
24	2, 23	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ y e. ~H ) -> ( ( A .op T ) ` y ) = ( A .h ( T ` y ) ) )
25	24	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( ( A .op T ) ` y ) = ( A .h ( T ` y ) ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) = ( x .h ( A .h ( T ` y ) ) ) )
27		hvmulcom 27900	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( A .h ( x .h ( T ` y ) ) ) = ( x .h ( A .h ( T ` y ) ) ) )
28	12, 27	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( A .h ( x .h ( T ` y ) ) ) = ( x .h ( A .h ( T ` y ) ) ) )
29	28	3expb 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( A .h ( x .h ( T ` y ) ) ) = ( x .h ( A .h ( T ` y ) ) ) )
30	26, 29	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) = ( A .h ( x .h ( T ` y ) ) ) )
31		homval 28600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ T : ~H --> ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( A .op T ) ` z ) = ( A .h ( T ` z ) ) )
32	2, 31	mp3an2 1412	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ z e. ~H ) -> ( ( A .op T ) ` z ) = ( A .h ( T ` z ) ) )
33	30, 32	oveqan12d 6669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ ( A e. CC /\ z e. ~H ) ) -> ( ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) +h ( ( A .op T ) ` z ) ) = ( ( A .h ( x .h ( T ` y ) ) ) +h ( A .h ( T ` z ) ) ) )
34	33	anandis 873	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) +h ( ( A .op T ) ` z ) ) = ( ( A .h ( x .h ( T ` y ) ) ) +h ( A .h ( T ` z ) ) ) )
35	18, 22, 34	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) +h ( ( A .op T ) ` z ) ) = ( A .h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
36	10, 35	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( ( A .op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) +h ( ( A .op T ) ` z ) ) )
37	36	exp32 631	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( z e. ~H -> ( ( A .op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) +h ( ( A .op T ) ` z ) ) ) ) )
38	37	ralrimdv 2968	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> A. z e. ~H ( ( A .op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) +h ( ( A .op T ) ` z ) ) ) )
39	38	ralrimivv 2970	. 2 |- ( A e. CC -> A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( A .op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) +h ( ( A .op T ) ` z ) ) )
40		ellnop 28717	. 2 |- ( ( A .op T ) e. LinOp <-> ( ( A .op T ) : ~H --> ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( A .op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( A .op T ) ` y ) ) +h ( ( A .op T ) ` z ) ) ) )
41	4, 39, 40	sylanbrc 698	1 |- ( A e. CC -> ( A .op T ) e. LinOp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   .op chot 27796   LinOpclo 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-mulcom 10000  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-homul 28590  df-lnop 28700

This theorem is referenced by:  lnophdi  28861  bdophmi  28891