Theorem lnophsi 28860

Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopco.1	|- S e. LinOp
lnopco.2	|- T e. LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnophsi	|- ( S +op T ) e. LinOp

Proof of Theorem lnophsi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopco.1	. . . 4 |- S e. LinOp
2	1	lnopfi 28828	. . 3 |- S : ~H --> ~H
3		lnopco.2	. . . 4 |- T e. LinOp
4	3	lnopfi 28828	. . 3 |- T : ~H --> ~H
5	2, 4	hoaddcli 28627	. 2 |- ( S +op T ) : ~H --> ~H
6		hvmulcl 27870	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
7	1	lnopaddi 28830	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( S ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( S ` z ) ) )
8	3	lnopaddi 28830	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( T ` ( x .h y ) ) +h ( T ` z ) ) )
9	7, 8	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( S ` ( ( x .h y ) +h z ) ) +h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( S ` z ) ) +h ( ( T ` ( x .h y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
10	6, 9	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( S ` ( ( x .h y ) +h z ) ) +h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( S ` z ) ) +h ( ( T ` ( x .h y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
11	2	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( ( x .h y ) e. ~H -> ( S ` ( x .h y ) ) e. ~H )
12	6, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( S ` ( x .h y ) ) e. ~H )
13	2	ffvelrni 6358	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~H -> ( S ` z ) e. ~H )
14	12, 13	anim12i 590	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( S ` ( x .h y ) ) e. ~H /\ ( S ` z ) e. ~H ) )
15	4	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( ( x .h y ) e. ~H -> ( T ` ( x .h y ) ) e. ~H )
16	6, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( x .h y ) ) e. ~H )
17	4	ffvelrni 6358	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~H -> ( T ` z ) e. ~H )
18	16, 17	anim12i 590	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( x .h y ) ) e. ~H /\ ( T ` z ) e. ~H ) )
19		hvadd4 27893	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S ` ( x .h y ) ) e. ~H /\ ( S ` z ) e. ~H ) /\ ( ( T ` ( x .h y ) ) e. ~H /\ ( T ` z ) e. ~H ) ) -> ( ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( S ` z ) ) +h ( ( T ` ( x .h y ) ) +h ( T ` z ) ) ) = ( ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( T ` ( x .h y ) ) ) +h ( ( S ` z ) +h ( T ` z ) ) ) )
20	14, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( S ` z ) ) +h ( ( T ` ( x .h y ) ) +h ( T ` z ) ) ) = ( ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( T ` ( x .h y ) ) ) +h ( ( S ` z ) +h ( T ` z ) ) ) )
21	10, 20	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( S ` ( ( x .h y ) +h z ) ) +h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) = ( ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( T ` ( x .h y ) ) ) +h ( ( S ` z ) +h ( T ` z ) ) ) )
22		hvaddcl 27869	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
23	6, 22	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
24		hosval 28599	. . . . . . 7 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H ) -> ( ( S +op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( S ` ( ( x .h y ) +h z ) ) +h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
25	2, 4, 24	mp3an12 1414	. . . . . 6 |- ( ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H -> ( ( S +op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( S ` ( ( x .h y ) +h z ) ) +h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( S +op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( S ` ( ( x .h y ) +h z ) ) +h ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) ) )
27	2	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( S ` y ) e. ~H )
28	4	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( T ` y ) e. ~H )
29	27, 28	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( ( S ` y ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) )
30		ax-hvdistr1 27865	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( S ` y ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( x .h ( ( S ` y ) +h ( T ` y ) ) ) = ( ( x .h ( S ` y ) ) +h ( x .h ( T ` y ) ) ) )
31	30	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( ( S ` y ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) ) -> ( x .h ( ( S ` y ) +h ( T ` y ) ) ) = ( ( x .h ( S ` y ) ) +h ( x .h ( T ` y ) ) ) )
32	29, 31	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h ( ( S ` y ) +h ( T ` y ) ) ) = ( ( x .h ( S ` y ) ) +h ( x .h ( T ` y ) ) ) )
33		hosval 28599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( S +op T ) ` y ) = ( ( S ` y ) +h ( T ` y ) ) )
34	2, 4, 33	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( S +op T ) ` y ) = ( ( S ` y ) +h ( T ` y ) ) )
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( x .h ( ( S +op T ) ` y ) ) = ( x .h ( ( S ` y ) +h ( T ` y ) ) ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h ( ( S +op T ) ` y ) ) = ( x .h ( ( S ` y ) +h ( T ` y ) ) ) )
37	1	lnopmuli 28831	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( S ` ( x .h y ) ) = ( x .h ( S ` y ) ) )
38	3	lnopmuli 28831	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( x .h y ) ) = ( x .h ( T ` y ) ) )
39	37, 38	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( T ` ( x .h y ) ) ) = ( ( x .h ( S ` y ) ) +h ( x .h ( T ` y ) ) ) )
40	32, 36, 39	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h ( ( S +op T ) ` y ) ) = ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( T ` ( x .h y ) ) ) )
41		hosval 28599	. . . . . . 7 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( S +op T ) ` z ) = ( ( S ` z ) +h ( T ` z ) ) )
42	2, 4, 41	mp3an12 1414	. . . . . 6 |- ( z e. ~H -> ( ( S +op T ) ` z ) = ( ( S ` z ) +h ( T ` z ) ) )
43	40, 42	oveqan12d 6669	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h ( ( S +op T ) ` y ) ) +h ( ( S +op T ) ` z ) ) = ( ( ( S ` ( x .h y ) ) +h ( T ` ( x .h y ) ) ) +h ( ( S ` z ) +h ( T ` z ) ) ) )
44	21, 26, 43	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( S +op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( S +op T ) ` y ) ) +h ( ( S +op T ) ` z ) ) )
45	44	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> A. z e. ~H ( ( S +op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( S +op T ) ` y ) ) +h ( ( S +op T ) ` z ) ) )
46	45	rgen2 2975	. 2 |- A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( S +op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( S +op T ) ` y ) ) +h ( ( S +op T ) ` z ) )
47		ellnop 28717	. 2 |- ( ( S +op T ) e. LinOp <-> ( ( S +op T ) : ~H --> ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( S +op T ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( ( S +op T ) ` y ) ) +h ( ( S +op T ) ` z ) ) ) )
48	5, 46, 47	mpbir2an 955	1 |- ( S +op T ) e. LinOp

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   +op chos 27795   LinOpclo 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-hvsub 27828  df-hosum 28589  df-lnop 28700

This theorem is referenced by:  lnophdi  28861  bdophsi  28955