Theorem lnophdi 28861

Description: The difference of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 27-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopco.1	|- S e. LinOp
lnopco.2	|- T e. LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnophdi	|- ( S -op T ) e. LinOp

Proof of Theorem lnophdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopco.1	. . . 4 |- S e. LinOp
2	1	lnopfi 28828	. . 3 |- S : ~H --> ~H
3		lnopco.2	. . . 4 |- T e. LinOp
4	3	lnopfi 28828	. . 3 |- T : ~H --> ~H
5	2, 4	honegsubi 28655	. 2 |- ( S +op ( -u 1 .op T ) ) = ( S -op T )
6		neg1cn 11124	. . . 4 |- -u 1 e. CC
7	3	lnopmi 28859	. . . 4 |- ( -u 1 e. CC -> ( -u 1 .op T ) e. LinOp )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( -u 1 .op T ) e. LinOp
9	1, 8	lnophsi 28860	. 2 |- ( S +op ( -u 1 .op T ) ) e. LinOp
10	5, 9	eqeltrri 2698	1 |- ( S -op T ) e. LinOp

Syntax hints:   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   -ucneg 10267   +op chos 27795   .op chot 27796   -op chod 27797   LinOpclo 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-hvsub 27828  df-hosum 28589  df-homul 28590  df-hodif 28591  df-lnop 28700

This theorem is referenced by:  lnopeqi  28867