Theorem lo1le 14382

Description: Transfer eventual upper boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1le.1	|- ( ph -> M e. RR )
lo1le.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1le.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
lo1le.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
lo1le.5	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> C <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lo1le	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) )

Distinct variable groups:   x, A   x, M   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem lo1le

Dummy variables m y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1le.2	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
2		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
3		lo1le.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> M e. RR )
5	2, 4	ifcld 4131	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( M <_ y , y , M ) e. RR )
6	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> M e. RR )
7		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> y e. RR )
8		lo1le.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
9	8	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. A B e. V )
10		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
12		lo1dm 14250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
14	11, 13	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ RR )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> A C_ RR )
16		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> x e. A )
17	15, 16	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> x e. RR )
18		maxle 12022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. RR /\ y e. RR /\ x e. RR ) -> ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x <-> ( M <_ x /\ y <_ x ) ) )
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x <-> ( M <_ x /\ y <_ x ) ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ x /\ y <_ x ) -> y <_ x )
21	19, 20	syl6bi 243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> y <_ x ) )
22	21	imim1d 82	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> ( ( y <_ x -> B <_ m ) -> ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> B <_ m ) ) )
23		lo1le.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> C <_ B )
24	23	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( x e. A /\ M <_ x ) ) -> C <_ B )
25	24	adantrll 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( ( m e. RR /\ x e. A ) /\ M <_ x ) ) -> C <_ B )
26		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ph )
27		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. RR /\ x e. A ) /\ M <_ x ) -> x e. A )
28		lo1le.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
29	26, 27, 28	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( ( m e. RR /\ x e. A ) /\ M <_ x ) ) -> C e. RR )
30	8, 1	lo1mptrcl 14352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
31	26, 27, 30	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( ( m e. RR /\ x e. A ) /\ M <_ x ) ) -> B e. RR )
32		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( ( m e. RR /\ x e. A ) /\ M <_ x ) ) -> m e. RR )
33		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( C <_ B /\ B <_ m ) -> C <_ m ) )
34	29, 31, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( ( m e. RR /\ x e. A ) /\ M <_ x ) ) -> ( ( C <_ B /\ B <_ m ) -> C <_ m ) )
35	25, 34	mpand 711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( ( m e. RR /\ x e. A ) /\ M <_ x ) ) -> ( B <_ m -> C <_ m ) )
36	35	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> ( M <_ x -> ( B <_ m -> C <_ m ) ) )
37	36	adantrd 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> ( ( M <_ x /\ y <_ x ) -> ( B <_ m -> C <_ m ) ) )
38	19, 37	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> ( B <_ m -> C <_ m ) ) )
39	38	a2d 29	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> ( ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> B <_ m ) -> ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> C <_ m ) ) )
40	22, 39	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ ( m e. RR /\ x e. A ) ) -> ( ( y <_ x -> B <_ m ) -> ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> C <_ m ) ) )
41	40	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( y <_ x -> B <_ m ) -> ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> C <_ m ) ) )
42	41	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) -> A. x e. A ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> C <_ m ) ) )
43	42	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) -> E. m e. RR A. x e. A ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> C <_ m ) ) )
44		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = if ( M <_ y , y , M ) -> ( z <_ x <-> if ( M <_ y , y , M ) <_ x ) )
45	44	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( z = if ( M <_ y , y , M ) -> ( ( z <_ x -> C <_ m ) <-> ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> C <_ m ) ) )
46	45	rexralbidv 3058	. . . . . 6 |- ( z = if ( M <_ y , y , M ) -> ( E. m e. RR A. x e. A ( z <_ x -> C <_ m ) <-> E. m e. RR A. x e. A ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> C <_ m ) ) )
47	46	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( if ( M <_ y , y , M ) e. RR /\ E. m e. RR A. x e. A ( if ( M <_ y , y , M ) <_ x -> C <_ m ) ) -> E. z e. RR E. m e. RR A. x e. A ( z <_ x -> C <_ m ) )
48	5, 43, 47	syl6an 568	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) -> E. z e. RR E. m e. RR A. x e. A ( z <_ x -> C <_ m ) ) )
49	48	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) -> E. z e. RR E. m e. RR A. x e. A ( z <_ x -> C <_ m ) ) )
50	14, 30	ello1mpt 14252	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
51	14, 28	ello1mpt 14252	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) <-> E. z e. RR E. m e. RR A. x e. A ( z <_ x -> C <_ m ) ) )
52	49, 50, 51	3imtr4d 283	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) -> ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) ) )
53	1, 52	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   RRcr 9935   <_ cle 10075   <_O(1)clo1 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  o1le  14383  vmalogdivsum2  25227  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem5  25270