Theorem pntrlog2bndlem5 25270

Description: Lemma for pntrlog2bnd 25273. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bnd.t	|- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
pntrlog2bndlem5.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntrlog2bndlem5.2	|- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem5	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y   B, n, x, y   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y   T, n

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   B( i, a)   R( i, a)   S( i, a)   T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
2	1	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
3		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
5		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
6		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
8	7	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
9	5, 2, 8	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
10	2, 4, 9	rpgecld 11911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
11		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
12	11	pntrf 25252	. . . . . . . . . . . 12 |- R : RR+ --> RR
13	12	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
15	14	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
16	15	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. CC )
18	10	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
19	18	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
20	17, 19	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
21		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
22	2, 8	rplogcld 24375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
23	22	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
24	21, 19, 23	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. CC )
25		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
26	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
27		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
29	28	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
30	26, 29	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
31	12	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
34	33	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
35	29	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
36		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
37	35, 36	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` n ) + 1 ) e. RR )
38	34, 37	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) e. RR )
39	38	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) e. CC )
40	25, 39	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) e. CC )
41	24, 40	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) e. CC )
42	20, 41	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) e. CC )
43	34	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. CC )
44	25, 43	fsumcl 14464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. CC )
45	24, 44	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
46	2	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
47	10	rpne0d 11877	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
48	42, 45, 46, 47	divdird 10839	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) )
49	16, 18	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
50	49	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
51	50, 41, 45	subsubd 10420	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) )
52	24, 40, 44	subdid 10486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) )
53	25, 39, 43	fsumsub 14520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
54	37	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` n ) + 1 ) e. CC )
55		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
56	43, 54, 55	subdid 10486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( ( log ` n ) + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. 1 ) ) )
57	35	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
58	57, 55	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` n ) + 1 ) - 1 ) = ( log ` n ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( ( log ` n ) + 1 ) - 1 ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
60	43	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. 1 ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
62	56, 59, 61	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
63	62	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
64	53, 63	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
66	52, 65	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
67	66	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
68	51, 67	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
70	48, 69	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) )
71	70	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) )
72		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
74	73, 22	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
75	25, 38	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) e. RR )
76	74, 75	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) e. RR )
77	49, 76	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
78	77, 10	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) / x ) e. RR )
79	25, 34	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
80	74, 79	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
81	80, 10	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) / x ) e. RR )
82		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
83		pntsval.1	. . . . . 6 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
84		pntrlog2bnd.t	. . . . . 6 |- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
85	83, 11, 84	pntrlog2bndlem4 25269	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1)
86	85	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
87	28	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
88		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR /\ a e. RR+ ) -> a e. RR )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ a e. RR+ ) -> a e. RR+ )
90	89	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR /\ a e. RR+ ) -> ( log ` a ) e. RR )
91	88, 90	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR /\ a e. RR+ ) -> ( a x. ( log ` a ) ) e. RR )
92		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR /\ -. a e. RR+ ) -> 0 e. RR )
93	91, 92	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. RR -> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) e. RR )
94	84, 93	fmpti 6383	. . . . . . . . . . . 12 |- T : RR --> RR
95	94	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. RR -> ( T ` n ) e. RR )
96	87, 95	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( T ` n ) e. RR )
97	87, 36	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n - 1 ) e. RR )
98	94	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n - 1 ) e. RR -> ( T ` ( n - 1 ) ) e. RR )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( T ` ( n - 1 ) ) e. RR )
100	96, 99	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) e. RR )
101	34, 100	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) e. RR )
102	25, 101	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) e. RR )
103	74, 102	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) ) e. RR )
104	49, 103	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) ) ) e. RR )
105	104, 10	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) ) ) / x ) e. RR )
106		2rp 11837	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR+ )
108	107	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ 2 )
109	73, 22, 108	divge0d 11912	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( 2 / ( log ` x ) ) )
110	33	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
111	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> n e. RR+ )
112	111	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> n e. CC )
113	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( log ` n ) e. CC )
114	112, 113	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( n x. ( log ` n ) ) e. CC )
115		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> 1 < n )
116		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
117	111	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> n e. RR )
118		difrp 11868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR /\ n e. RR ) -> ( 1 < n <-> ( n - 1 ) e. RR+ ) )
119	116, 117, 118	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( 1 < n <-> ( n - 1 ) e. RR+ ) )
120	115, 119	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( n - 1 ) e. RR+ )
121	120	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( log ` ( n - 1 ) ) e. RR )
122	121	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( log ` ( n - 1 ) ) e. CC )
123	112, 122	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) e. CC )
124	114, 123, 122	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n x. ( log ` n ) ) - ( ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( ( n x. ( log ` n ) ) - ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
125		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. RR+ -> n e. RR )
126		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = n -> ( a e. RR+ <-> n e. RR+ ) )
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = n -> a = n )
128		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = n -> ( log ` a ) = ( log ` n ) )
129	127, 128	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = n -> ( a x. ( log ` a ) ) = ( n x. ( log ` n ) ) )
130	126, 129	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = n -> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) = if ( n e. RR+ , ( n x. ( log ` n ) ) , 0 ) )
131		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n x. ( log ` n ) ) e. _V
132		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. _V
133	131, 132	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( n e. RR+ , ( n x. ( log ` n ) ) , 0 ) e. _V
134	130, 84, 133	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. RR -> ( T ` n ) = if ( n e. RR+ , ( n x. ( log ` n ) ) , 0 ) )
135	125, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. RR+ -> ( T ` n ) = if ( n e. RR+ , ( n x. ( log ` n ) ) , 0 ) )
136		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. RR+ -> if ( n e. RR+ , ( n x. ( log ` n ) ) , 0 ) = ( n x. ( log ` n ) ) )
137	135, 136	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. RR+ -> ( T ` n ) = ( n x. ( log ` n ) ) )
138	111, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( T ` n ) = ( n x. ( log ` n ) ) )
139		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n - 1 ) e. RR+ -> ( n - 1 ) e. RR )
140		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = ( n - 1 ) -> ( a e. RR+ <-> ( n - 1 ) e. RR+ ) )
141		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = ( n - 1 ) -> a = ( n - 1 ) )
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = ( n - 1 ) -> ( log ` a ) = ( log ` ( n - 1 ) ) )
143	141, 142	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = ( n - 1 ) -> ( a x. ( log ` a ) ) = ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
144	140, 143	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( n - 1 ) -> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) = if ( ( n - 1 ) e. RR+ , ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) , 0 ) )
145		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) e. _V
146	145, 132	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- if ( ( n - 1 ) e. RR+ , ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) , 0 ) e. _V
147	144, 84, 146	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n - 1 ) e. RR -> ( T ` ( n - 1 ) ) = if ( ( n - 1 ) e. RR+ , ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) , 0 ) )
148	139, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n - 1 ) e. RR+ -> ( T ` ( n - 1 ) ) = if ( ( n - 1 ) e. RR+ , ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) , 0 ) )
149		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n - 1 ) e. RR+ -> if ( ( n - 1 ) e. RR+ , ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) , 0 ) = ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
150	148, 149	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n - 1 ) e. RR+ -> ( T ` ( n - 1 ) ) = ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
151	120, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( T ` ( n - 1 ) ) = ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
152		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> 1 e. CC )
153	112, 152, 122	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n - 1 ) x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) = ( ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( 1 x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) )
154	122	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( 1 x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) = ( log ` ( n - 1 ) ) )
155	154	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( 1 x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
156	151, 153, 155	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( T ` ( n - 1 ) ) = ( ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
157	138, 156	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) = ( ( n x. ( log ` n ) ) - ( ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) )
158	112, 113, 122	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( n x. ( log ` n ) ) - ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) )
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) = ( ( ( n x. ( log ` n ) ) - ( n x. ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
160	124, 157, 159	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) = ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
161	111	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( log ` n ) e. RR )
162	161, 121	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) e. RR )
163	162	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) e. CC )
164	112, 152, 163	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n - 1 ) x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) ) )
165	163	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( 1 x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) ) = ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) - ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) )
167	117, 162	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) e. RR )
168	167	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) e. CC )
169	168, 113, 122	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) - ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( log ` n ) ) )
170	164, 166, 169	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n - 1 ) x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( log ` n ) ) )
171	112, 152	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
172	171	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( log ` ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( log ` n ) )
173	172	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( log ` ( ( n - 1 ) + 1 ) ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) = ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) )
174		logdifbnd 24720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n - 1 ) e. RR+ -> ( ( log ` ( ( n - 1 ) + 1 ) ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( 1 / ( n - 1 ) ) )
175	120, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( log ` ( ( n - 1 ) + 1 ) ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( 1 / ( n - 1 ) ) )
176	173, 175	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( 1 / ( n - 1 ) ) )
177		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> 1 e. RR )
178	162, 177, 120	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( ( n - 1 ) x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) <_ 1 <-> ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( 1 / ( n - 1 ) ) ) )
179	176, 178	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n - 1 ) x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) <_ 1 )
180	170, 179	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( log ` n ) ) <_ 1 )
181	167, 121	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) e. RR )
182	181, 161, 177	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) - ( log ` n ) ) <_ 1 <-> ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( log ` n ) + 1 ) ) )
183	180, 182	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( n x. ( ( log ` n ) - ( log ` ( n - 1 ) ) ) ) + ( log ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( log ` n ) + 1 ) )
184	160, 183	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 < n ) -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( log ` n ) + 1 ) )
185		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> ( T ` n ) = ( T ` 1 ) )
186		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = 1 -> a = 1 )
187	186, 3	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = 1 -> a e. RR+ )
188	187	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = 1 -> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) = ( a x. ( log ` a ) ) )
189		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = 1 -> ( log ` a ) = ( log ` 1 ) )
190		log1 24332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( log ` 1 ) = 0
191	189, 190	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = 1 -> ( log ` a ) = 0 )
192	186, 191	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = 1 -> ( a x. ( log ` a ) ) = ( 1 x. 0 ) )
193		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. CC
194	193	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 x. 0 ) = 0
195	192, 194	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = 1 -> ( a x. ( log ` a ) ) = 0 )
196	188, 195	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = 1 -> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) = 0 )
197	196, 84, 132	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. RR -> ( T ` 1 ) = 0 )
198	116, 197	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T ` 1 ) = 0
199	185, 198	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 1 -> ( T ` n ) = 0 )
200		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 1 -> ( n - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
201		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 - 1 ) = 0
202	200, 201	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> ( n - 1 ) = 0 )
203	202	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> ( T ` ( n - 1 ) ) = ( T ` 0 ) )
204		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
205		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. RR+ -> a =/= 0 )
206	205	necon2bi 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = 0 -> -. a e. RR+ )
207	206	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = 0 -> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) = 0 )
208	207, 84, 132	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 e. RR -> ( T ` 0 ) = 0 )
209	204, 208	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T ` 0 ) = 0
210	203, 209	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 1 -> ( T ` ( n - 1 ) ) = 0 )
211	199, 210	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
212		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 - 0 ) = 0
213	211, 212	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) = 0 )
214	213	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 = n -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) = 0 )
215	214	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 = n ) -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) = 0 )
216		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 e. RR )
217	28	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ n )
218	87, 217	logge0d 24376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( log ` n ) )
219	35	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) <_ ( ( log ` n ) + 1 ) )
220	216, 35, 37, 218, 219	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` n ) + 1 ) )
221	220	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 = n ) -> 0 <_ ( ( log ` n ) + 1 ) )
222	215, 221	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 1 = n ) -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( log ` n ) + 1 ) )
223		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> 1 <_ n )
224	223	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ n )
225	36, 87	leloed 10180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 <_ n <-> ( 1 < n \/ 1 = n ) ) )
226	224, 225	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 < n \/ 1 = n ) )
227	184, 222, 226	mpjaodan 827	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( log ` n ) + 1 ) )
228	100, 37, 34, 110, 227	lemul2ad 10964	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) )
229	25, 101, 38, 228	fsumle 14531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) )
230	102, 75, 74, 109, 229	lemul2ad 10964	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) ) <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) )
231	103, 76, 49, 230	lesub2dd 10644	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) ) ) )
232	77, 104, 10, 231	lediv1dd 11930	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) / x ) <_ ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) ) ) / x ) )
233	232	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) / x ) <_ ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( T ` n ) - ( T ` ( n - 1 ) ) ) ) ) ) / x ) )
234	82, 86, 105, 78, 233	lo1le 14382	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
235	106	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
236		pntrlog2bndlem5.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR+ )
237	235, 236	rpmulcld 11888	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. B ) e. RR+ )
238	237	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. B ) e. RR )
239	238	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
240	5, 22	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
241	5, 240	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. RR )
242		ioossre 12235	. . . . . 6 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
243		lo1const 14351	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ ( 2 x. B ) e. RR ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 2 x. B ) ) e. <_O(1) )
244	242, 238, 243	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 2 x. B ) ) e. <_O(1) )
245		lo1const 14351	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. RR ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. <_O(1) )
246	242, 82, 245	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. <_O(1) )
247		divlogrlim 24381	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
248		rlimo1 14347	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
249	247, 248	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
250	240, 249	o1lo1d 14270	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) )
251	5, 240, 246, 250	lo1add 14357	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. <_O(1) )
252	237	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. B ) e. RR+ )
253	252	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( 2 x. B ) )
254	239, 241, 244, 251, 253	lo1mul 14358	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( 2 x. B ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) e. <_O(1) )
255	239, 241	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
256	79, 10	rerpdivcld 11903	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) e. RR )
257	18, 5	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. RR )
258	236	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR+ )
259	258	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. RR )
260	257, 259	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) x. B ) e. RR )
261	28	nnrecred 11066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
262	25, 261	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
263	262, 259	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) x. B ) e. RR )
264	34, 26	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) e. RR )
265	259	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. RR )
266	261, 265	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 / n ) x. B ) e. RR )
267	30	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. CC )
268	30	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) =/= 0 )
269	33, 267, 268	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) )
270	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
271	270, 28	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
272	30	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( x / n ) )
273	271, 272	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( x / n ) ) = ( x / n ) )
274	273	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
275	269, 274	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) )
276	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
277	87	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
278	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x =/= 0 )
279	28	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
280	43, 276, 277, 278, 279	divdiv2d 10833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / ( x / n ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. n ) / x ) )
281	43, 277, 276, 278	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. n ) / x ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) x. n ) )
282	275, 280, 281	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) x. n ) )
283		pntrlog2bndlem5.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
284	283	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
285		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( R ` y ) = ( R ` ( x / n ) ) )
286		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> y = ( x / n ) )
287	285, 286	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( R ` y ) / y ) = ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) )
288	287	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) )
289	288	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B <-> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
290	289	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B ) )
291	30, 284, 290	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) / ( x / n ) ) ) <_ B )
292	282, 291	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) x. n ) <_ B )
293	264, 265, 29	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) x. n ) <_ B <-> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) <_ ( B / n ) ) )
294	292, 293	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) <_ ( B / n ) )
295	265	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> B e. CC )
296	295, 277, 279	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( B / n ) = ( ( 1 / n ) x. B ) )
297	294, 296	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) <_ ( ( 1 / n ) x. B ) )
298	25, 264, 266, 297	fsumle 14531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / n ) x. B ) )
299	25, 46, 43, 47	fsumdivc 14518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) )
300	258	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> B e. CC )
301	261	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
302	25, 300, 301	fsummulc1 14517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) x. B ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / n ) x. B ) )
303	298, 299, 302	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) x. B ) )
304	258	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ B )
305		harmonicubnd 24736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
306	2, 9, 305	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
307	262, 257, 259, 304, 306	lemul1ad 10963	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) x. B ) <_ ( ( ( log ` x ) + 1 ) x. B ) )
308	256, 263, 260, 303, 307	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) <_ ( ( ( log ` x ) + 1 ) x. B ) )
309	256, 260, 74, 109, 308	lemul2ad 10964	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) ) <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( ( ( log ` x ) + 1 ) x. B ) ) )
310	24, 44, 46, 47	divassd 10836	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) / x ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) / x ) ) )
311	241	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. CC )
312	21, 300, 311	mul32d 10246	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) x. B ) )
313		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
314	19, 313, 19, 23	divdird 10839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) + ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
315	19, 23	dividd 10799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
316	315	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) + ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
317	314, 316	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) )
318	317	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) ) )
319	19, 313	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. CC )
320	21, 19, 319, 23	div32d 10824	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) = ( 2 x. ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) ) )
321	318, 320	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) )
322	321	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) x. B ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) x. B ) )
323	24, 319, 300	mulassd 10063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) x. B ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( ( ( log ` x ) + 1 ) x. B ) ) )
324	312, 322, 323	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( ( ( log ` x ) + 1 ) x. B ) ) )
325	309, 310, 324	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( 2 x. B ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
326	325	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( 2 x. B ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
327	82, 254, 255, 81, 326	lo1le 14382	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
328	78, 81, 234, 327	lo1add 14357	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( log ` n ) + 1 ) ) ) ) / x ) + ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) ) e. <_O(1) )
329	71, 328	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217   <_O(1)clo1 14218   sum_csu 14416   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  25272