Theorem pntrlog2bndlem1 25266

Description: The sum of selberg3r 25258 and selberg4r 25259. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem1	|- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) e. <_O(1)

Distinct variable groups:   i, a, n, x   S, n, x   R, n, x

Allowed substitution hints:   R( i, a)   S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem1

Dummy variables k m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. . 3 |- ( T. -> 1 e. RR )
2		pntrlog2bnd.r	. . . . 5 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
3	2	selberg34r 25260	. . . 4 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) e. O(1)
4		elioore 12205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
6		1rp 11836	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
8		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
9		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
11	10	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
12	8, 5, 11	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
13	5, 7, 12	rpgecld 11911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
14	2	pntrf 25252	. . . . . . . . . . 11 |- R : RR+ --> RR
15	14	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
17	13	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
18	16, 17	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
19		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
20	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
21		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
23	22	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
24	20, 23	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
25	14	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
27		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
28		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> { y e. NN | y || n } C_ ( 1 ... n ) )
29	22, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || n } C_ ( 1 ... n ) )
30		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ { y e. NN | y || n } C_ ( 1 ... n ) ) -> { y e. NN | y || n } e. Fin )
31	27, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || n } e. Fin )
32		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. NN | y || n } C_ NN
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> m e. { y e. NN | y || n } )
34	32, 33	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> m e. NN )
35		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> (Λ ` m ) e. RR )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> (Λ ` m ) e. RR )
37		dvdsdivcl 15038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( n / m ) e. { y e. NN | y || n } )
38	22, 37	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( n / m ) e. { y e. NN | y || n } )
39	32, 38	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( n / m ) e. NN )
40		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n / m ) e. NN -> (Λ ` ( n / m ) ) e. RR )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> (Λ ` ( n / m ) ) e. RR )
42	36, 41	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) e. RR )
43	31, 42	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) e. RR )
44		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
45	22, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
46	23	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
47	45, 46	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
48	43, 47	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
49	26, 48	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
50	19, 49	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
51	5, 11	rplogcld 24375	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
52	50, 51	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
53	18, 52	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. RR )
54	53, 13	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) e. RR )
55	54	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) e. CC )
56	55	lo1o12 14264	. . . 4 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( abs ` ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) ) e. <_O(1) ) )
57	3, 56	mpbii 223	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( abs ` ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) ) e. <_O(1) )
58	55	abscld 14175	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) e. RR )
59	16	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
60	59	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
61	60, 17	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
62	26	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
63	62	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
64	22	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
65		pntsval.1	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
66	65	pntsf 25262	. . . . . . . . . . 11 |- S : RR --> RR
67	66	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. RR -> ( S ` n ) e. RR )
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) e. RR )
69		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
70	64, 69	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n - 1 ) e. RR )
71	66	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - 1 ) e. RR -> ( S ` ( n - 1 ) ) e. RR )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` ( n - 1 ) ) e. RR )
73	68, 72	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) e. RR )
74	63, 73	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) e. RR )
75	19, 74	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) e. RR )
76	75, 51	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
77	61, 76	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. RR )
78	77, 13	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) e. RR )
79	17	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
80	59, 79	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
81	50	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
82	51	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
83	81, 79, 82	divcld 10801	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
84	80, 83	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. CC )
85	84	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
86	81	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
87	86, 51	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
88	61, 87	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. RR )
89	49	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
90	89	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
91	19, 90	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
92	19, 89	fsumabs 14533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
93	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
94	62, 93	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
95	93	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
96	62	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
97	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) e. CC )
98	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
99	97, 98	abs2dif2d 14197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) + ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
100	72	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` ( n - 1 ) ) e. CC )
101	97, 98	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
102	100, 101	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( S ` ( n - 1 ) ) + ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) = ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) )
103		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
105		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. NN )
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> k e. NN )
107		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. NN -> (Λ ` k ) e. RR )
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> (Λ ` k ) e. RR )
109	106	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> k e. RR+ )
110	109	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( log ` k ) e. RR )
111	108, 110	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) e. RR )
112		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
113		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. NN -> { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) )
114	106, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) )
115		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 1 ... k ) e. Fin /\ { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) ) -> { y e. NN | y || k } e. Fin )
116	112, 114, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> { y e. NN | y || k } e. Fin )
117		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { y e. NN | y || k } C_ NN
118		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ m e. { y e. NN | y || k } ) -> m e. { y e. NN | y || k } )
119	117, 118	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ m e. { y e. NN | y || k } ) -> m e. NN )
120	119, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ m e. { y e. NN | y || k } ) -> (Λ ` m ) e. RR )
121		dvdsdivcl 15038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k e. NN /\ m e. { y e. NN | y || k } ) -> ( k / m ) e. { y e. NN | y || k } )
122	106, 121	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ m e. { y e. NN | y || k } ) -> ( k / m ) e. { y e. NN | y || k } )
123	117, 122	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ m e. { y e. NN | y || k } ) -> ( k / m ) e. NN )
124		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k / m ) e. NN -> (Λ ` ( k / m ) ) e. RR )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ m e. { y e. NN | y || k } ) -> (Λ ` ( k / m ) ) e. RR )
126	120, 125	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ m e. { y e. NN | y || k } ) -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) e. RR )
127	116, 126	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) e. RR )
128	111, 127	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) e. RR )
129	128	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) e. CC )
130		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = n -> (Λ ` k ) = (Λ ` n ) )
131		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = n -> ( log ` k ) = ( log ` n ) )
132	130, 131	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) )
133		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = n -> ( y || k <-> y || n ) )
134	133	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = n -> { y e. NN | y || k } = { y e. NN | y || n } )
135		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = n -> ( k / m ) = ( n / m ) )
136	135	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = n -> (Λ ` ( k / m ) ) = (Λ ` ( n / m ) ) )
137	136	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = n -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k = n /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) )
139	134, 138	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) = sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) )
140	132, 139	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) )
141	104, 129, 140	fsumm1 14480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( n - 1 ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) + ( ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) ) )
142	65	pntsval2 25265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. RR -> ( S ` n ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` n ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) )
143	64, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` n ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) )
144	22	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ZZ )
145		flid 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ZZ -> ( |_ ` n ) = n )
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` n ) = n )
147	146	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` n ) ) = ( 1 ... n ) )
148	147	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` n ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) )
149	143, 148	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) )
150	65	pntsval2 25265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n - 1 ) e. RR -> ( S ` ( n - 1 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( n - 1 ) ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) )
151	70, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` ( n - 1 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( n - 1 ) ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) )
152		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. ZZ )
153	144, 152	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n - 1 ) e. ZZ )
154		flid 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n - 1 ) e. ZZ -> ( |_ ` ( n - 1 ) ) = ( n - 1 ) )
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( n - 1 ) ) = ( n - 1 ) )
156	155	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( n - 1 ) ) ) = ( 1 ... ( n - 1 ) ) )
157	156	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( n - 1 ) ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( n - 1 ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) )
158	151, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` ( n - 1 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( n - 1 ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) )
159	97, 98	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) )
160	158, 159	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` ( n - 1 ) ) + ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( n - 1 ) ) ( ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( k / m ) ) ) ) + ( ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) + sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) ) )
161	141, 149, 160	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) = ( ( S ` ( n - 1 ) ) + ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
162	161	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) = ( ( ( S ` ( n - 1 ) ) + ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) )
163		vmage0 24847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> 0 <_ (Λ ` m ) )
164	34, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> 0 <_ (Λ ` m ) )
165		vmage0 24847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n / m ) e. NN -> 0 <_ (Λ ` ( n / m ) ) )
166	39, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> 0 <_ (Λ ` ( n / m ) ) )
167	36, 41, 164, 166	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> 0 <_ ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) )
168	31, 42, 167	fsumge0 14527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) )
169	43, 168	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) = sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) )
170		vmage0 24847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
171	22, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
172	22	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ n )
173	64, 172	logge0d 24376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( log ` n ) )
174	45, 46, 171, 173	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) )
175	47, 174	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) )
176	169, 175	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) + ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) )
177	102, 162, 176	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) + ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
178	99, 177	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) )
179	95, 73, 63, 96, 178	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) )
180	94, 179	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) )
181	19, 90, 74, 180	fsumle 14531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) )
182	86, 91, 75, 92, 181	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) )
183	86, 75, 51, 182	lediv1dd 11930	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
184	87, 76, 61, 183	lesub2dd 10644	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
185	59, 79	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( abs ` ( log ` x ) ) ) )
186	5, 12	logge0d 24376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
187	17, 186	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
188	187	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( abs ` ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) )
189	185, 188	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) )
190	81, 79, 82	absdivd 14194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( log ` x ) ) ) )
191	187	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
192	190, 191	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
193	189, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
194	80, 83	abs2difd 14196	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) )
195	193, 194	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) )
196	77, 88, 85, 184, 195	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) )
197	77, 85, 13, 196	lediv1dd 11930	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) <_ ( ( abs ` ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) / x ) )
198	53	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. CC )
199	5	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
200	13	rpne0d 11877	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
201	198, 199, 200	absdivd 14194	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) / ( abs ` x ) ) )
202	13	rpge0d 11876	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ x )
203	5, 202	absidd 14161	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` x ) = x )
204	203	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) / ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) / x ) )
205	201, 204	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) / x ) )
206	197, 205	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) <_ ( abs ` ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) )
207	206	adantrr 753	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) <_ ( abs ` ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) )
208	1, 57, 58, 78, 207	lo1le 14382	. 2 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
209	208	trud 1493	1 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( S ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) e. <_O(1)

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   O(1)co1 14217   <_O(1)clo1 14218   sum_csu 14416   || cdvds 14983   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  25269