Theorem ltrniotaval 35869

Description: Value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrniotaval.l	|- .<_ = ( le ` K )
ltrniotaval.a	|- A = ( Atoms ` K )
ltrniotaval.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrniotaval.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
ltrniotaval.f	|- F = ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q )

Assertion

Ref	Expression
ltrniotaval	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( F ` P ) = Q )

Distinct variable groups:   A, f   f, H   f, K   .<_ , f   P, f   Q, f   T, f   f, W

Allowed substitution hint:   F( f)

Proof of Theorem ltrniotaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrniotaval.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
2		ltrniotaval.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
3		ltrniotaval.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
4		ltrniotaval.t	. . 3 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	1, 2, 3, 4	cdleme 35848	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> E! f e. T ( f ` P ) = Q )
6		ltrniotaval.f	. . . . . . 7 |- F = ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q )
7		nfriota1 6618	. . . . . . 7 |- F/_ f ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q )
8	6, 7	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ f F
9		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ f P
10	8, 9	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ f ( F ` P )
11	10	nfeq1 2778	. . . 4 |- F/ f ( F ` P ) = Q
12		fveq1 6190	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f ` P ) = ( F ` P ) )
13	12	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( f ` P ) = Q <-> ( F ` P ) = Q ) )
14	11, 6, 13	riotaprop 6635	. . 3 |- ( E! f e. T ( f ` P ) = Q -> ( F e. T /\ ( F ` P ) = Q ) )
15	14	simprd 479	. 2 |- ( E! f e. T ( f ` P ) = Q -> ( F ` P ) = Q )
16	5, 15	syl 17	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( F ` P ) = Q )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!wreu 2914   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   iota_crio 6610   lecple 15948   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  ltrniotacnvval  35870  ltrniotaidvalN  35871  ltrniotavalbN  35872  cdlemm10N  36407  cdlemn2  36484  cdlemn3  36486  cdlemn9  36494  dihmeetlem13N  36608  dih1dimatlem0  36617  dihjatcclem3  36709