Theorem lubel 17122

Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	|- B = ( Base ` K )
lublem.l	|- .<_ = ( le ` K )
lublem.u	|- U = ( lub ` K )

Assertion

Ref	Expression
lubel	|- ( ( K e. CLat /\ X e. S /\ S C_ B ) -> X .<_ ( U ` S ) )

Proof of Theorem lubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatl 17116	. . . 4 |- ( K e. CLat -> K e. Lat )
2		ssel 3597	. . . . 5 |- ( S C_ B -> ( X e. S -> X e. B ) )
3	2	impcom 446	. . . 4 |- ( ( X e. S /\ S C_ B ) -> X e. B )
4		lublem.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
5		lublem.u	. . . . 5 |- U = ( lub ` K )
6	4, 5	lubsn 17094	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( U ` { X } ) = X )
7	1, 3, 6	syl2an 494	. . 3 |- ( ( K e. CLat /\ ( X e. S /\ S C_ B ) ) -> ( U ` { X } ) = X )
8	7	3impb 1260	. 2 |- ( ( K e. CLat /\ X e. S /\ S C_ B ) -> ( U ` { X } ) = X )
9		snssi 4339	. . . 4 |- ( X e. S -> { X } C_ S )
10		lublem.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
11	4, 10, 5	lubss 17121	. . . 4 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B /\ { X } C_ S ) -> ( U ` { X } ) .<_ ( U ` S ) )
12	9, 11	syl3an3 1361	. . 3 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ B /\ X e. S ) -> ( U ` { X } ) .<_ ( U ` S ) )
13	12	3com23 1271	. 2 |- ( ( K e. CLat /\ X e. S /\ S C_ B ) -> ( U ` { X } ) .<_ ( U ` S ) )
14	8, 13	eqbrtrrd 4677	1 |- ( ( K e. CLat /\ X e. S /\ S C_ B ) -> X .<_ ( U ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   lubclub 16942   Latclat 17045   CLatccla 17107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046  df-clat 17108

This theorem is referenced by:  lubun  17123  atlatmstc  34606  2polssN  35201