Theorem mapsn 7899

Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	|- A e. _V
map0.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsn	|- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Distinct variable groups:   y, f, A   B, f, y

Proof of Theorem mapsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. . . 4 |- A e. _V
2		snex 4908	. . . 4 |- { B } e. _V
3	1, 2	elmap 7886	. . 3 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> f : { B } --> A )
4		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> f Fn { B } )
5		map0.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
6	5	snid 4208	. . . . . . . 8 |- B e. { B }
7		fneu 5995	. . . . . . . 8 |- ( ( f Fn { B } /\ B e. { B } ) -> E! y B f y )
8	4, 6, 7	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> E! y B f y )
9		euabsn 4261	. . . . . . . 8 |- ( E! y B f y <-> E. y { y | B f y } = { y } )
10		frel 6050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : { B } --> A -> Rel f )
11		relimasn 5488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel f -> ( f " { B } ) = { y | B f y } )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> ( f " { B } ) = { y | B f y } )
13		imadmrn 5476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f " dom f ) = ran f
14		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> dom f = { B } )
15	14	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : { B } --> A -> ( f " dom f ) = ( f " { B } ) )
16	13, 15	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> ( f " { B } ) = ran f )
17	12, 16	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> { y | B f y } = ran f )
18	17	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( { y | B f y } = { y } <-> ran f = { y } ) )
19	18	exbidv 1850	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y { y | B f y } = { y } <-> E. y ran f = { y } ) )
20	9, 19	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( E! y B f y <-> E. y ran f = { y } ) )
21	8, 20	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> E. y ran f = { y } )
22		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
23	22	snid 4208	. . . . . . . . . 10 |- y e. { y }
24		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( y e. ran f <-> y e. { y } ) )
25	23, 24	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ran f = { y } -> y e. ran f )
26		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> ran f C_ A )
27	26	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( y e. ran f -> y e. A ) )
28	25, 27	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> y e. A ) )
29		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn { B } <-> f : { B } -onto-> ran f )
30	4, 29	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } -onto-> ran f )
31		fof 6115	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } -onto-> ran f -> f : { B } --> ran f )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } --> ran f )
33		feq3 6028	. . . . . . . . . 10 |- ( ran f = { y } -> ( f : { B } --> ran f <-> f : { B } --> { y } ) )
34	32, 33	syl5ibcom 235	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f : { B } --> { y } ) )
35	5, 22	fsn 6402	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> { y } <-> f = { <. B , y >. } )
36	34, 35	syl6ib 241	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f = { <. B , y >. } ) )
37	28, 36	jcad 555	. . . . . . 7 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
38	37	eximdv 1846	. . . . . 6 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y ran f = { y } -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
39	21, 38	mpd 15	. . . . 5 |- ( f : { B } --> A -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
40		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } <-> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
41	39, 40	sylibr 224	. . . 4 |- ( f : { B } --> A -> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
42	5, 22	f1osn 6176	. . . . . . . . 9 |- { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
43		f1oeq1 6127	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. B , y >. } -> ( f : { B } -1-1-onto-> { y } <-> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
44	42, 43	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } -1-1-onto-> { y } )
45		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( f : { B } -1-1-onto-> { y } -> f : { B } --> { y } )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> { y } )
47		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> { y } C_ A )
48		fss 6056	. . . . . . 7 |- ( ( f : { B } --> { y } /\ { y } C_ A ) -> f : { B } --> A )
49	46, 47, 48	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( f = { <. B , y >. } /\ y e. A ) -> f : { B } --> A )
50	49	expcom 451	. . . . 5 |- ( y e. A -> ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A ) )
51	50	rexlimiv 3027	. . . 4 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A )
52	41, 51	impbii 199	. . 3 |- ( f : { B } --> A <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
53	3, 52	bitri 264	. 2 |- ( f e. ( A ^m { B } ) <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
54	53	abbi2i 2738	1 |- ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } }

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859

This theorem is referenced by:  mapsnen  8035