Theorem mapss2 39397

Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapss2.a	|- ( ph -> A e. V )
mapss2.b	|- ( ph -> B e. W )
mapss2.c	|- ( ph -> C e. Z )
mapss2.n	|- ( ph -> C =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
mapss2	|- ( ph -> ( A C_ B <-> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )

Proof of Theorem mapss2

Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapss2.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. W )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ B ) -> B e. W )
3		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ B ) -> A C_ B )
4		mapss 7900	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
6	5	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )
7		mapss2.n	. . . . . 6 |- ( ph -> C =/= (/) )
8		n0 3931	. . . . . 6 |- ( C =/= (/) <-> E. x x e. C )
9	7, 8	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> E. x x e. C )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) -> E. x x e. C )
11		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( w e. C |-> y ) = ( w e. C |-> y ) )
12		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w = x ) -> y = y )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. C )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> y e. _V )
16	11, 12, 13, 15	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( w e. C |-> y ) ` x ) = y )
17	16	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> y = ( ( w e. C |-> y ) ` x ) )
18	17	ad4ant13 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ x e. C ) /\ y e. A ) -> y = ( ( w e. C |-> y ) ` x ) )
19		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ y e. A ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
20		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ w e. C ) -> y e. A )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. C |-> y ) = ( w e. C |-> y )
22	20, 21	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( w e. C |-> y ) : C --> A )
23		mapss2.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. V )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> A e. V )
25		mapss2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> C e. Z )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> C e. Z )
27	24, 26	elmapd 7871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( w e. C |-> y ) e. ( A ^m C ) <-> ( w e. C |-> y ) : C --> A ) )
28	22, 27	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( w e. C |-> y ) e. ( A ^m C ) )
29	28	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ y e. A ) -> ( w e. C |-> y ) e. ( A ^m C ) )
30	19, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ y e. A ) -> ( w e. C |-> y ) e. ( B ^m C ) )
31		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. C |-> y ) e. ( B ^m C ) -> ( w e. C |-> y ) : C --> B )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ y e. A ) -> ( w e. C |-> y ) : C --> B )
33	32	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ x e. C ) /\ y e. A ) -> ( w e. C |-> y ) : C --> B )
34		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ x e. C ) /\ y e. A ) -> x e. C )
35	33, 34	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ x e. C ) /\ y e. A ) -> ( ( w e. C |-> y ) ` x ) e. B )
36	18, 35	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ x e. C ) /\ y e. A ) -> y e. B )
37	36	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ x e. C ) -> A. y e. A y e. B )
38		dfss3 3592	. . . . . . 7 |- ( A C_ B <-> A. y e. A y e. B )
39	37, 38	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ x e. C ) -> A C_ B )
40	39	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) -> ( x e. C -> A C_ B ) )
41	40	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) -> ( E. x x e. C -> A C_ B ) )
42	10, 41	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) -> A C_ B )
43	42	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) -> A C_ B ) )
44	6, 43	impbid 202	1 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  ovnovollem1  40870  ovnovollem2  40871