Theorem ovnovollem1 40870

Description: if F is a cover of B in RR, then I is the corresponding cover in the space of 1-dimensional reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnovollem1.a	|- ( ph -> A e. V )
ovnovollem1.f	|- ( ph -> F e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) )
ovnovollem1.i	|- I = ( j e. NN |-> { <. A , ( F ` j ) >. } )
ovnovollem1.s	|- ( ph -> B C_ U. ran ( [,) o. F ) )
ovnovollem1.b	|- ( ph -> B e. W )
ovnovollem1.z	|- ( ph -> Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnovollem1	|- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j, k   B, i   j, F, k   i, I, j, k   k, V   i, Z   ph, j, k

Allowed substitution hints:   ph( i)   B( j, k)   F( i)   V( i, j)   W( i, j, k)   Z( j, k)

Proof of Theorem ovnovollem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> { <. A , ( F ` j ) >. } = { <. A , ( F ` j ) >. } )
2		ovnovollem1.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. V )
3	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A e. V )
4		ovnovollem1.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) )
5		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> F : NN --> ( RR X. RR ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> ( RR X. RR ) )
7	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. ( RR X. RR ) )
8		fsng 6404	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( F ` j ) e. ( RR X. RR ) ) -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } : { A } --> { ( F ` j ) } <-> { <. A , ( F ` j ) >. } = { <. A , ( F ` j ) >. } ) )
9	3, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } : { A } --> { ( F ` j ) } <-> { <. A , ( F ` j ) >. } = { <. A , ( F ` j ) >. } ) )
10	1, 9	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> { <. A , ( F ` j ) >. } : { A } --> { ( F ` j ) } )
11	7	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> { ( F ` j ) } C_ ( RR X. RR ) )
12	10, 11	fssd 6057	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> { <. A , ( F ` j ) >. } : { A } --> ( RR X. RR ) )
13		reex 10027	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
14	13, 13	xpex 6962	. . . . . . 7 |- ( RR X. RR ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( RR X. RR ) e. _V )
16		snex 4908	. . . . . . 7 |- { A } e. _V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> { A } e. _V )
18	15, 17	elmapd 7871	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } e. ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) <-> { <. A , ( F ` j ) >. } : { A } --> ( RR X. RR ) ) )
19	12, 18	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> { <. A , ( F ` j ) >. } e. ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) )
20		ovnovollem1.i	. . . 4 |- I = ( j e. NN |-> { <. A , ( F ` j ) >. } )
21	19, 20	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) )
22		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) e. _V )
23		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
24	23	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN e. _V )
25	22, 24	elmapd 7871	. . 3 |- ( ph -> ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) <-> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ) )
26	21, 25	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) )
27		ovnovollem1.s	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ U. ran ( [,) o. F ) )
28		icof 39411	. . . . . . . . . . 11 |- [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* )
30		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* ) )
32	29, 31, 6	fcoss 39402	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( [,) o. F ) : NN --> ~P RR* )
33	32	ffnd 6046	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( [,) o. F ) Fn NN )
34		fniunfv 6505	. . . . . . . 8 |- ( ( [,) o. F ) Fn NN -> U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) = U. ran ( [,) o. F ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) = U. ran ( [,) o. F ) )
36	35	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> U. ran ( [,) o. F ) = U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) )
37	27, 36	sseqtrd 3641	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) )
38		ovnovollem1.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
39		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ( [,) o. F ) ` j ) e. _V
40	23, 39	iunex 7147	. . . . . . 7 |- U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) e. _V )
42	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } e. _V )
43	2	snn0d 39258	. . . . . 6 |- ( ph -> { A } =/= (/) )
44	38, 41, 42, 43	mapss2 39397	. . . . 5 |- ( ph -> ( B C_ U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) <-> ( B ^m { A } ) C_ ( U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) ) )
45	37, 44	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( B ^m { A } ) C_ ( U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) )
46		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ j ph
47		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) ` ( F ` j ) ) e. _V )
48	46, 24, 47, 2	iunmapsn 39409	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ j e. NN ( ( [,) ` ( F ` j ) ) ^m { A } ) = ( U_ j e. NN ( [,) ` ( F ` j ) ) ^m { A } ) )
49	48	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ j e. NN ( [,) ` ( F ` j ) ) ^m { A } ) = U_ j e. NN ( ( [,) ` ( F ` j ) ) ^m { A } ) )
50		elmapfun 7881	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> Fun F )
51	4, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun F )
52	51	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Fun F )
53		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
54		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : NN --> ( RR X. RR ) -> dom F = NN )
55	6, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = NN )
56	55	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> NN = dom F )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> NN = dom F )
58	53, 57	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. dom F )
59		fvco 6274	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ j e. dom F ) -> ( ( [,) o. F ) ` j ) = ( [,) ` ( F ` j ) ) )
60	52, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. F ) ` j ) = ( [,) ` ( F ` j ) ) )
61	60	iuneq2dv 4542	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) = U_ j e. NN ( [,) ` ( F ` j ) ) )
62	61	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) = ( U_ j e. NN ( [,) ` ( F ` j ) ) ^m { A } ) )
63		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { <. A , ( F ` j ) >. } : { A } --> { ( F ` j ) } -> Fun { <. A , ( F ` j ) >. } )
64	10, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Fun { <. A , ( F ` j ) >. } )
65		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> j e. NN )
66		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { <. A , ( F ` j ) >. } e. _V
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> { <. A , ( F ` j ) >. } e. _V )
68	20	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN /\ { <. A , ( F ` j ) >. } e. _V ) -> ( I ` j ) = { <. A , ( F ` j ) >. } )
69	65, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( I ` j ) = { <. A , ( F ` j ) >. } )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) = { <. A , ( F ` j ) >. } )
71	70	funeqd 5910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( Fun ( I ` j ) <-> Fun { <. A , ( F ` j ) >. } ) )
72	64, 71	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Fun ( I ` j ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> Fun ( I ` j ) )
74		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> k e. { A } )
75	70	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> dom ( I ` j ) = dom { <. A , ( F ` j ) >. } )
76		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { <. A , ( F ` j ) >. } : { A } --> ( RR X. RR ) -> dom { <. A , ( F ` j ) >. } = { A } )
77	12, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> dom { <. A , ( F ` j ) >. } = { A } )
78	75, 77	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> dom ( I ` j ) = { A } )
79	78	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. dom ( I ` j ) <-> k e. { A } ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( k e. dom ( I ` j ) <-> k e. { A } ) )
81	74, 80	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> k e. dom ( I ` j ) )
82		fvco 6274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun ( I ` j ) /\ k e. dom ( I ` j ) ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( [,) ` ( ( I ` j ) ` k ) ) )
83	73, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( [,) ` ( ( I ` j ) ` k ) ) )
84	69	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( I ` j ) ` k ) = ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` k ) )
85	84	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( ( I ` j ) ` k ) = ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` k ) )
86		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. { A } -> k = A )
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. { A } -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` k ) = ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) )
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` k ) = ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) )
89		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` j ) e. _V )
90		fvsng 6447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ ( F ` j ) e. _V ) -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) = ( F ` j ) )
91	2, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) = ( F ` j ) )
92	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) = ( F ` j ) )
93	85, 88, 92	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( ( I ` j ) ` k ) = ( F ` j ) )
94	93	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( [,) ` ( ( I ` j ) ` k ) ) = ( [,) ` ( F ` j ) ) )
95		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( [,) ` ( F ` j ) ) = ( [,) ` ( F ` j ) ) )
96	83, 94, 95	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( [,) ` ( F ` j ) ) )
97	96	ixpeq2dva 7923	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = X_ k e. { A } ( [,) ` ( F ` j ) ) )
98		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( [,) ` ( F ` j ) ) e. _V
99	16, 98	ixpconst 7918	. . . . . . . 8 |- X_ k e. { A } ( [,) ` ( F ` j ) ) = ( ( [,) ` ( F ` j ) ) ^m { A } )
100	99	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. { A } ( [,) ` ( F ` j ) ) = ( ( [,) ` ( F ` j ) ) ^m { A } ) )
101	97, 100	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) ` ( F ` j ) ) ^m { A } ) )
102	101	iuneq2dv 4542	. . . . 5 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN ( ( [,) ` ( F ` j ) ) ^m { A } ) )
103	49, 62, 102	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ph -> ( U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) = U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
104	45, 103	sseqtrd 3641	. . 3 |- ( ph -> ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
105		ovnovollem1.z	. . . 4 |- ( ph -> Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) )
106		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j F
107		ressxr 10083	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
108		xpss2 5229	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ RR* -> ( RR X. RR ) C_ ( RR X. RR* ) )
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR X. RR* )
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR X. RR ) C_ ( RR X. RR* ) )
111	6, 110	fssd 6057	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN --> ( RR X. RR* ) )
112	106, 111	volicofmpt 40214	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( vol o. [,) ) o. F ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) ) )
113	69	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( [,) o. ( I ` j ) ) = ( [,) o. { <. A , ( F ` j ) >. } ) )
114	113	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) = ( ( [,) o. { <. A , ( F ` j ) >. } ) ` A ) )
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) = ( ( [,) o. { <. A , ( F ` j ) >. } ) ` A ) )
116		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. V -> A e. { A } )
117	2, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. { A } )
118		dmsnopg 5606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` j ) e. _V -> dom { <. A , ( F ` j ) >. } = { A } )
119	89, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom { <. A , ( F ` j ) >. } = { A } )
120	117, 119	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. dom { <. A , ( F ` j ) >. } )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A e. dom { <. A , ( F ` j ) >. } )
122		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun { <. A , ( F ` j ) >. } /\ A e. dom { <. A , ( F ` j ) >. } ) -> ( ( [,) o. { <. A , ( F ` j ) >. } ) ` A ) = ( [,) ` ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) ) )
123	64, 121, 122	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. { <. A , ( F ` j ) >. } ) ` A ) = ( [,) ` ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) ) )
124		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. _V )
125	3, 124, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) = ( F ` j ) )
126		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( F ` j ) = <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. )
127	7, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. )
128	125, 127	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) = <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) ` ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) ) = ( [,) ` <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. ) )
130		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) = ( [,) ` <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. )
131	130	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [,) ` <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) )
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) ` <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) )
133	129, 132	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) ` ( { <. A , ( F ` j ) >. } ` A ) ) = ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) )
134	115, 123, 133	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) = ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) )
135	134	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) = ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) )
136		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` ( F ` j ) ) e. RR )
137	7, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` j ) ) e. RR )
138		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` ( F ` j ) ) e. RR )
139	7, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` j ) ) e. RR )
140		volicore 40795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( F ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` j ) ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) e. RR )
141	137, 139, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) e. RR )
142	135, 141	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) e. RR )
143	142	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) e. CC )
144		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) )
145	144	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k = A -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) )
146	145	prodsn 14692	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) e. CC ) -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) )
147	3, 143, 146	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) )
148	147, 135	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) = prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
149	148	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) )
150	112, 149	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( vol o. [,) ) o. F ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) )
151	150	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
152	105, 151	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
153	104, 152	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) /\ Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
154		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> ( i ` j ) = ( I ` j ) )
155	154	coeq2d 5284	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( I ` j ) ) )
156	155	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
157	156	ixpeq2dv 7924	. . . . . 6 |- ( i = I -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
158	157	iuneq2d 4547	. . . . 5 |- ( i = I -> U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
159	158	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( i = I -> ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
160		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = I /\ k e. { A } ) -> i = I )
161	160	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = I /\ k e. { A } ) -> ( i ` j ) = ( I ` j ) )
162	161	coeq2d 5284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = I /\ k e. { A } ) -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( I ` j ) ) )
163	162	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = I /\ k e. { A } ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
164	163	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( i = I /\ k e. { A } ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
165	164	prodeq2dv 14653	. . . . . . 7 |- ( i = I -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
166	165	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) )
167	166	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( i = I -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
168	167	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( i = I -> ( Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
169	159, 168	anbi12d 747	. . 3 |- ( i = I -> ( ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) /\ Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
170	169	rspcev 3309	. 2 |- ( ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) /\ Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
171	26, 153, 170	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   CCcc 9934   RRcr 9935   RR*cxr 10073   NNcn 11020   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  ovnovollem3  40872