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Theorem ovnovollem2 40871
Description: if I is a cover of ( B ^m { A } ) in ℝ^ 1, then F is the corresponding cover in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnovollem2.a |- ( ph -> A e. V )
ovnovollem2.b |- ( ph -> B e. W )
ovnovollem2.i |- ( ph -> I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) )
ovnovollem2.s |- ( ph -> ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
ovnovollem2.z |- ( ph -> Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
ovnovollem2.f |- F = ( j e. NN |-> ( ( I ` j ) ` A ) )
Assertion
Ref Expression
ovnovollem2 |- ( ph -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, j, k   B, f   f, F   j, F, k   k, I   k, V   f, Z   ph, j, k
Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( j, k)   I( f, j)   V( f, j)   W( f, j, k)   Z( j, k)
Proof of Theorem ovnovollem2
StepHypRef Expression
1 ovnovollem2.i . . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) )
2 elmapi 7879 . . . . . . . . 9 |- ( I e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) -> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) )
43adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> I : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) )
5 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
64, 5ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) e. ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) )
7 elmapi 7879 . . . . . 6 |- ( ( I ` j ) e. ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) -> ( I ` j ) : { A } --> ( RR X. RR ) )
86, 7syl 17 . . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( I ` j ) : { A } --> ( RR X. RR ) )
9 ovnovollem2.a . . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
10 snidg 4206 . . . . . . 7 |- ( A e. V -> A e. { A } )
119, 10syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> A e. { A } )
1211adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A e. { A } )
138, 12ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( I ` j ) ` A ) e. ( RR X. RR ) )
14 ovnovollem2.f . . . 4 |- F = ( j e. NN |-> ( ( I ` j ) ` A ) )
1513, 14fmptd 6385 . . 3 |- ( ph -> F : NN --> ( RR X. RR ) )
16 reex 10027 . . . . . 6 |- RR e. _V
1716, 16xpex 6962 . . . . 5 |- ( RR X. RR ) e. _V
18 nnex 11026 . . . . 5 |- NN e. _V
1917, 18elmap 7886 . . . 4 |- ( F e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) <-> F : NN --> ( RR X. RR ) )
2019a1i 11 . . 3 |- ( ph -> ( F e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) <-> F : NN --> ( RR X. RR ) ) )
2115, 20mpbird 247 . 2 |- ( ph -> F e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) )
22 ovnovollem2.s . . . . . 6 |- ( ph -> ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) )
23 elsni 4194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. { A } -> k = A )
2423fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. { A } -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) )
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) )
26 elmapfun 7881 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I ` j ) e. ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) -> Fun ( I ` j ) )
276, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Fun ( I ` j ) )
28 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I ` j ) : { A } --> ( RR X. RR ) -> dom ( I ` j ) = { A } )
298, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> dom ( I ` j ) = { A } )
3029eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> { A } = dom ( I ` j ) )
3112, 30eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A e. dom ( I ` j ) )
32 fvco 6274 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( I ` j ) /\ A e. dom ( I ` j ) ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) = ( [,) ` ( ( I ` j ) ` A ) ) )
3327, 31, 32syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) = ( [,) ` ( ( I ` j ) ` A ) ) )
3433adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) = ( [,) ` ( ( I ` j ) ` A ) ) )
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. NN )
36 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> ( ( I ` j ) ` A ) e. _V )
3714fvmpt2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. NN /\ ( ( I ` j ) ` A ) e. _V ) -> ( F ` j ) = ( ( I ` j ) ` A ) )
3835, 36, 37syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) = ( ( I ` j ) ` A ) )
3938eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> ( ( I ` j ) ` A ) = ( F ` j ) )
4039fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( [,) ` ( ( I ` j ) ` A ) ) = ( [,) ` ( F ` j ) ) )
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) ` ( ( I ` j ) ` A ) ) = ( [,) ` ( F ` j ) ) )
4215ffund 6049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Fun F )
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Fun F )
4414, 13dmmptd 6024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom F = NN )
4544eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN = dom F )
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> NN = dom F )
475, 46eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. dom F )
48 fvco 6274 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ j e. dom F ) -> ( ( [,) o. F ) ` j ) = ( [,) ` ( F ` j ) ) )
4943, 47, 48syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. F ) ` j ) = ( [,) ` ( F ` j ) ) )
5049eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) ` ( F ` j ) ) = ( ( [,) o. F ) ` j ) )
5141, 50eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) ` ( ( I ` j ) ` A ) ) = ( ( [,) o. F ) ` j ) )
5251adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( [,) ` ( ( I ` j ) ` A ) ) = ( ( [,) o. F ) ` j ) )
5325, 34, 523eqtrd 2660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. { A } ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. F ) ` j ) )
5453ixpeq2dva 7923 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = X_ k e. { A } ( ( [,) o. F ) ` j ) )
55 snex 4908 . . . . . . . . . . 11 |- { A } e. _V
56 fvex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( [,) o. F ) ` j ) e. _V
5755, 56ixpconst 7918 . . . . . . . . . 10 |- X_ k e. { A } ( ( [,) o. F ) ` j ) = ( ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } )
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. F ) ` j ) = ( ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) )
5954, 58eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) )
6059iuneq2dv 4542 . . . . . . 7 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN ( ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) )
61 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ j ph
6218a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> NN e. _V )
63 fvexd 6203 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. F ) ` j ) e. _V )
6461, 62, 63, 9iunmapsn 39409 . . . . . . 7 |- ( ph -> U_ j e. NN ( ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) = ( U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) )
6560, 64eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) )
6622, 65sseqtrd 3641 . . . . 5 |- ( ph -> ( B ^m { A } ) C_ ( U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) )
67 ovnovollem2.b . . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
6818, 56iunex 7147 . . . . . . 7 |- U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) e. _V
6968a1i 11 . . . . . 6 |- ( ph -> U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) e. _V )
7055a1i 11 . . . . . 6 |- ( ph -> { A } e. _V )
71 ne0i 3921 . . . . . . 7 |- ( A e. { A } -> { A } =/= (/) )
7211, 71syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> { A } =/= (/) )
7367, 69, 70, 72mapss2 39397 . . . . 5 |- ( ph -> ( B C_ U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) <-> ( B ^m { A } ) C_ ( U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) ^m { A } ) ) )
7466, 73mpbird 247 . . . 4 |- ( ph -> B C_ U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) )
75 icof 39411 . . . . . . . 8 |- [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*
7675a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> [,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* )
77 rexpssxrxp 10084 . . . . . . . 8 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
7877a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* ) )
7976, 78, 15fcoss 39402 . . . . . 6 |- ( ph -> ( [,) o. F ) : NN --> ~P RR* )
8079ffnd 6046 . . . . 5 |- ( ph -> ( [,) o. F ) Fn NN )
81 fniunfv 6505 . . . . 5 |- ( ( [,) o. F ) Fn NN -> U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) = U. ran ( [,) o. F ) )
8280, 81syl 17 . . . 4 |- ( ph -> U_ j e. NN ( ( [,) o. F ) ` j ) = U. ran ( [,) o. F ) )
8374, 82sseqtrd 3641 . . 3 |- ( ph -> B C_ U. ran ( [,) o. F ) )
84 ovnovollem2.z . . . 4 |- ( ph -> Z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
85 nfcv 2764 . . . . . . 7 |- F/_ j F
86 ressxr 10083 . . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
87 xpss2 5229 . . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ RR* -> ( RR X. RR ) C_ ( RR X. RR* ) )
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR X. RR* )
8988a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR X. RR ) C_ ( RR X. RR* ) )
9015, 89fssd 6057 . . . . . . 7 |- ( ph -> F : NN --> ( RR X. RR* ) )
9185, 90volicofmpt 40214 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( vol o. [,) ) o. F ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) ) )
929adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A e. V )
93 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( I ` j ) ` A ) e. _V )
945, 93, 37syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( ( I ` j ) ` A ) )
9594, 13eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. ( RR X. RR ) )
96 1st2nd2 7205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( F ` j ) = <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. )
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. )
9897fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) ` ( F ` j ) ) = ( [,) ` <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. ) )
99 df-ov 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) = ( [,) ` <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. )
10099eqcomi 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [,) ` <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) )
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) ` <. ( 1st ` ( F ` j ) ) , ( 2nd ` ( F ` j ) ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) )
10249, 98, 1013eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. F ) ` j ) = ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) )
10333, 51, 1023eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) = ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) )
104103fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) = ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) )
105 xp1st 7198 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` ( F ` j ) ) e. RR )
10695, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` j ) ) e. RR )
107 xp2nd 7199 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` ( F ` j ) ) e. RR )
10895, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` j ) ) e. RR )
109 volicore 40795 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( F ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` j ) ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) e. RR )
110106, 108, 109syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) e. RR )
111104, 110eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) e. RR )
112111recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) e. CC )
113 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = A -> ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) )
114113fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( k = A -> ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) )
115114prodsn 14692 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) e. CC ) -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) )
11692, 112, 115syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` A ) ) )
117116, 104eqtr2d 2657 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) = prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) )
118117mpteq2dva 4744 . . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( 1st ` ( F ` j ) ) [,) ( 2nd ` ( F ` j ) ) ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) )
11991, 118eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( vol o. [,) ) o. F ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) )
120119fveq2d 6195 . . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( I ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
12184, 120eqtr4d 2659 . . 3 |- ( ph -> Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) )
12283, 121jca 554 . 2 |- ( ph -> ( B C_ U. ran ( [,) o. F ) /\ Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) ) )
123 coeq2 5280 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( [,) o. f ) = ( [,) o. F ) )
124123rneqd 5353 . . . . . 6 |- ( f = F -> ran ( [,) o. f ) = ran ( [,) o. F ) )
125124unieqd 4446 . . . . 5 |- ( f = F -> U. ran ( [,) o. f ) = U. ran ( [,) o. F ) )
126125sseq2d 3633 . . . 4 |- ( f = F -> ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) <-> B C_ U. ran ( [,) o. F ) ) )
127 coeq2 5280 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( vol o. [,) ) o. f ) = ( ( vol o. [,) ) o. F ) )
128127fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( f = F -> (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) )
129128eqeq2d 2632 . . . 4 |- ( f = F -> ( Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) <-> Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) ) )
130126, 129anbi12d 747 . . 3 |- ( f = F -> ( ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) <-> ( B C_ U. ran ( [,) o. F ) /\ Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) ) ) )
131130rspcev 3309 . 2 |- ( ( F e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. F ) /\ Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. F ) ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) )
13221, 122, 131syl2anc 693 1 |- ( ph -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ Z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   CCcc 9934   RRcr 9935   RR*cxr 10073   NNcn 11020   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^csumge0 40579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234
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