Theorem metf1o 33551

Description: Use a bijection with a metric space to construct a metric on a set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
metf1o.2	|- N = ( x e. Y , y e. Y |-> ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
metf1o	|- ( ( Y e. A /\ M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) -> N e. ( Met ` Y ) )

Distinct variable groups:   x, M, y   x, X, y   x, Y, y   x, F, y   x, A, y

Allowed substitution hints:   N( x, y)

Proof of Theorem metf1o

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( F : Y -1-1-onto-> X -> F : Y --> X )
2		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : Y --> X /\ x e. Y ) -> ( F ` x ) e. X )
3	2	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( F : Y --> X -> ( x e. Y -> ( F ` x ) e. X ) )
4		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : Y --> X /\ y e. Y ) -> ( F ` y ) e. X )
5	4	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( F : Y --> X -> ( y e. Y -> ( F ` y ) e. X ) )
6	3, 5	anim12d 586	. . . . . . 7 |- ( F : Y --> X -> ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( ( F ` x ) e. X /\ ( F ` y ) e. X ) ) )
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( F : Y -1-1-onto-> X -> ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( ( F ` x ) e. X /\ ( F ` y ) e. X ) ) )
8		metcl 22137	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( F ` x ) e. X /\ ( F ` y ) e. X ) -> ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) e. RR )
9	8	3expib 1268	. . . . . 6 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( ( ( F ` x ) e. X /\ ( F ` y ) e. X ) -> ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) e. RR ) )
10	7, 9	sylan9r 690	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) -> ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) e. RR ) )
11	10	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( Y e. A /\ M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) -> ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) e. RR ) )
12	11	ralrimivv 2970	. . 3 |- ( ( Y e. A /\ M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) -> A. x e. Y A. y e. Y ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) e. RR )
13		metf1o.2	. . . 4 |- N = ( x e. Y , y e. Y |-> ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) )
14	13	fmpt2 7237	. . 3 |- ( A. x e. Y A. y e. Y ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) e. RR <-> N : ( Y X. Y ) --> RR )
15	12, 14	sylib 208	. 2 |- ( ( Y e. A /\ M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) -> N : ( Y X. Y ) --> RR )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( F ` x ) = ( F ` u ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) = ( ( F ` u ) M ( F ` y ) ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( ( F ` u ) M ( F ` y ) ) = ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) )
20		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) e. _V
21	17, 19, 13, 20	ovmpt2 6796	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( u N v ) = ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( ( u N v ) = 0 <-> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) = 0 ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( u N v ) = 0 <-> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) = 0 ) )
24		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : Y --> X /\ u e. Y ) -> ( F ` u ) e. X )
25	24	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Y --> X -> ( u e. Y -> ( F ` u ) e. X ) )
26		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : Y --> X /\ v e. Y ) -> ( F ` v ) e. X )
27	26	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Y --> X -> ( v e. Y -> ( F ` v ) e. X ) )
28	25, 27	anim12d 586	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : Y --> X -> ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) ) )
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( F : Y -1-1-onto-> X -> ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) ) )
30	29	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : Y -1-1-onto-> X /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) )
31	30	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) )
32		meteq0 22144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) -> ( ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) = 0 <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
33	32	3expb 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) ) -> ( ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) = 0 <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
34	33	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) ) -> ( ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) = 0 <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
35	31, 34	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) = 0 <-> ( F ` u ) = ( F ` v ) ) )
36		f1of1 6136	. . . . . . . . 9 |- ( F : Y -1-1-onto-> X -> F : Y -1-1-> X )
37		f1fveq 6519	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : Y -1-1-> X /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
38	36, 37	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( F : Y -1-1-onto-> X /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
39	38	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( F ` u ) = ( F ` v ) <-> u = v ) )
40	23, 35, 39	3bitrd 294	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( u N v ) = 0 <-> u = v ) )
41		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : Y --> X /\ w e. Y ) -> ( F ` w ) e. X )
42	41	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : Y --> X -> ( w e. Y -> ( F ` w ) e. X ) )
43	28, 42	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : Y --> X -> ( ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) -> ( ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) /\ ( F ` w ) e. X ) ) )
44	1, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Y -1-1-onto-> X -> ( ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) -> ( ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) /\ ( F ` w ) e. X ) ) )
45	44	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : Y -1-1-onto-> X /\ ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) /\ ( F ` w ) e. X ) )
46	45	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) /\ ( F ` w ) e. X ) )
47		mettri2 22146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( F ` w ) e. X /\ ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) ) -> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) )
48	47	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` w ) e. X /\ ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) -> ( M e. ( Met ` X ) -> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) ) )
49	48	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` w ) e. X /\ ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) ) -> ( M e. ( Met ` X ) -> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) ) )
50	49	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) /\ ( F ` w ) e. X ) -> ( M e. ( Met ` X ) -> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) ) )
51	50	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) /\ ( F ` w ) e. X ) ) -> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) )
52	51	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( ( ( F ` u ) e. X /\ ( F ` v ) e. X ) /\ ( F ` w ) e. X ) ) -> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) )
53	46, 52	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) ) -> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) )
54	53	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) /\ w e. Y ) -> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) )
55	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) -> ( u N v ) = ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) )
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
57	56	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) M ( F ` y ) ) = ( ( F ` w ) M ( F ` y ) ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( F ` y ) = ( F ` u ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = u -> ( ( F ` w ) M ( F ` y ) ) = ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) )
60		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) e. _V
61	57, 59, 13, 60	ovmpt2 6796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. Y /\ u e. Y ) -> ( w N u ) = ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) )
62	61	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Y /\ w e. Y ) -> ( w N u ) = ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) )
63	62	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) -> ( w N u ) = ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) )
64	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = v -> ( ( F ` w ) M ( F ` y ) ) = ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) )
65		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) e. _V
66	57, 64, 13, 65	ovmpt2 6796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. Y /\ v e. Y ) -> ( w N v ) = ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) )
67	66	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Y /\ w e. Y ) -> ( w N v ) = ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) )
68	67	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) -> ( w N v ) = ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) )
69	63, 68	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) -> ( ( w N u ) + ( w N v ) ) = ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) )
70	55, 69	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. Y /\ v e. Y ) /\ w e. Y ) -> ( ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) <-> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) ) )
71	70	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) /\ w e. Y ) -> ( ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) <-> ( ( F ` u ) M ( F ` v ) ) <_ ( ( ( F ` w ) M ( F ` u ) ) + ( ( F ` w ) M ( F ` v ) ) ) ) )
72	54, 71	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) /\ w e. Y ) -> ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) )
73	72	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> A. w e. Y ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) )
74	40, 73	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( ( u N v ) = 0 <-> u = v ) /\ A. w e. Y ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) ) )
75	74	3adantl1 1217	. . . 4 |- ( ( ( Y e. A /\ M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( ( u N v ) = 0 <-> u = v ) /\ A. w e. Y ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) ) )
76	75	ex 450	. . 3 |- ( ( Y e. A /\ M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) -> ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( ( ( u N v ) = 0 <-> u = v ) /\ A. w e. Y ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) ) ) )
77	76	ralrimivv 2970	. 2 |- ( ( Y e. A /\ M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) -> A. u e. Y A. v e. Y ( ( ( u N v ) = 0 <-> u = v ) /\ A. w e. Y ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) ) )
78		ismet 22128	. . 3 |- ( Y e. A -> ( N e. ( Met ` Y ) <-> ( N : ( Y X. Y ) --> RR /\ A. u e. Y A. v e. Y ( ( ( u N v ) = 0 <-> u = v ) /\ A. w e. Y ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) ) ) ) )
79	78	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( Y e. A /\ M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) -> ( N e. ( Met ` Y ) <-> ( N : ( Y X. Y ) --> RR /\ A. u e. Y A. v e. Y ( ( ( u N v ) = 0 <-> u = v ) /\ A. w e. Y ( u N v ) <_ ( ( w N u ) + ( w N v ) ) ) ) ) )
80	15, 77, 79	mpbir2and 957	1 |- ( ( Y e. A /\ M e. ( Met ` X ) /\ F : Y -1-1-onto-> X ) -> N e. ( Met ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   Metcme 19732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-i2m1 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-xadd 11947  df-xmet 19739  df-met 19740

This theorem is referenced by: (None)