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Theorem mgmhmco 41801
Description: The composition of magma homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mgmhmco |- ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MgmHom U ) )
Proof of Theorem mgmhmco
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmhmrcl 41781 . . . 4 |- ( F e. ( T MgmHom U ) -> ( T e. Mgm /\ U e. Mgm ) )
21simprd 479 . . 3 |- ( F e. ( T MgmHom U ) -> U e. Mgm )
3 mgmhmrcl 41781 . . . 4 |- ( G e. ( S MgmHom T ) -> ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) )
43simpld 475 . . 3 |- ( G e. ( S MgmHom T ) -> S e. Mgm )
52, 4anim12ci 591 . 2 |- ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> ( S e. Mgm /\ U e. Mgm ) )
6 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
7 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
86, 7mgmhmf 41784 . . . 4 |- ( F e. ( T MgmHom U ) -> F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) )
9 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
109, 6mgmhmf 41784 . . . 4 |- ( G e. ( S MgmHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
11 fco 6058 . . . 4 |- ( ( F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) /\ G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) )
128, 10, 11syl2an 494 . . 3 |- ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) )
13 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
14 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
159, 13, 14mgmhmlin 41786 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. ( S MgmHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
16153expb 1266 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. ( S MgmHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
1716adantll 750 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
1817fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) = ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) )
19 simpll 790 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> F e. ( T MgmHom U ) )
2010ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
21 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
2220, 21ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` T ) )
23 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
2420, 23ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` T ) )
25 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
266, 14, 25mgmhmlin 41786 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` T ) /\ ( G ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
2719, 22, 24, 26syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
2818, 27eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
294adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> S e. Mgm )
309, 13mgmcl 17245 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mgm /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
31303expb 1266 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mgm /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
3229, 31sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
33 fvco3 6275 . . . . . 6 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
3420, 32, 33syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
35 fvco3 6275 . . . . . . 7 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
3620, 21, 35syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
37 fvco3 6275 . . . . . . 7 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
3820, 23, 37syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
3936, 38oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
4028, 34, 393eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
4140ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
4212, 41jca 554 . 2 |- ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> ( ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) ) )
439, 7, 13, 25ismgmhm 41783 . 2 |- ( ( F o. G ) e. ( S MgmHom U ) <-> ( ( S e. Mgm /\ U e. Mgm ) /\ ( ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) ) ) )
445, 42, 43sylanbrc 698 1 |- ( ( F e. ( T MgmHom U ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MgmHom U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240   MgmHom cmgmhm 41777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-mgm 17242  df-mgmhm 41779
This theorem is referenced by:  rnghmco  41907
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