Theorem mrieqv2d 16299

Description: In a Moore system, a set is independent if and only if all its proper subsets have closure properly contained in the closure of the set. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrieqvd.1	|- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
mrieqvd.2	|- N = (mrCls ` A )
mrieqvd.3	|- I = (mrInd ` A )
mrieqvd.4	|- ( ph -> S C_ X )

Assertion

Ref	Expression
mrieqv2d	|- ( ph -> ( S e. I <-> A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) )

Distinct variable groups:   S, s   ph, s   I, s   N, s

Allowed substitution hints:   A( s)   X( s)

Proof of Theorem mrieqv2d

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4039	. . . . . . 7 |- ( s C. S -> E. x ( x e. S /\ -. x e. s ) )
2	1	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) -> E. x ( x e. S /\ -. x e. s ) )
3		mrieqvd.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
4	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) -> A e. (Moore ` X ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> A e. (Moore ` X ) )
6		mrieqvd.2	. . . . . . . 8 |- N = (mrCls ` A )
7		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> -. x e. s )
8		difsnb 4337	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. s <-> ( s \ { x } ) = s )
9	7, 8	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> ( s \ { x } ) = s )
10		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> s C. S )
11	10	pssssd 3704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> s C_ S )
12	11	ssdifd 3746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> ( s \ { x } ) C_ ( S \ { x } ) )
13	9, 12	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> s C_ ( S \ { x } ) )
14		mrieqvd.3	. . . . . . . . . 10 |- I = (mrInd ` A )
15		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> S e. I )
16	14, 5, 15	mrissd 16296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> S C_ X )
17	16	ssdifssd 3748	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> ( S \ { x } ) C_ X )
18	5, 6, 13, 17	mrcssd 16284	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> ( N ` s ) C_ ( N ` ( S \ { x } ) ) )
19		difssd 3738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> ( S \ { x } ) C_ S )
20	5, 6, 19, 16	mrcssd 16284	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> ( N ` ( S \ { x } ) ) C_ ( N ` S ) )
21	5, 6, 16	mrcssidd 16285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> S C_ ( N ` S ) )
22		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> x e. S )
23	21, 22	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> x e. ( N ` S ) )
24	6, 14, 5, 15, 22	ismri2dad 16297	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) )
25	20, 23, 24	ssnelpssd 3719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> ( N ` ( S \ { x } ) ) C. ( N ` S ) )
26	18, 25	sspsstrd 3715	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) /\ ( x e. S /\ -. x e. s ) ) -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) )
27	2, 26	exlimddv 1863	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. I /\ s C. S ) -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) )
28	27	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. I ) -> ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) )
29	28	alrimiv 1855	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. I ) -> A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) )
30	29	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( S e. I -> A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) )
31	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. (Moore ` X ) )
32	31	elfvexd 6222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> X e. _V )
33		mrieqvd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ X )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> S C_ X )
35	32, 34	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> S e. _V )
36		difexg 4808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. _V -> ( S \ { x } ) e. _V )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( S \ { x } ) e. _V )
38		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> x e. S )
39		difsnpss 4338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. S <-> ( S \ { x } ) C. S )
40	38, 39	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( S \ { x } ) C. S )
41		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> s = ( S \ { x } ) )
42	41	psseq1d 3699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( s C. S <-> ( S \ { x } ) C. S ) )
43	40, 42	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> s C. S )
44		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) )
45	43, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) )
46	41	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( N ` s ) = ( N ` ( S \ { x } ) ) )
47	46	psseq1d 3699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( ( N ` s ) C. ( N ` S ) <-> ( N ` ( S \ { x } ) ) C. ( N ` S ) ) )
48	45, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) /\ ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( N ` ( S \ { x } ) ) C. ( N ` S ) )
49	48	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ s = ( S \ { x } ) ) -> ( ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) -> ( N ` ( S \ { x } ) ) C. ( N ` S ) ) )
50	37, 49	spcimdv 3290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) -> ( N ` ( S \ { x } ) ) C. ( N ` S ) ) )
51	50	3impia 1261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( N ` ( S \ { x } ) ) C. ( N ` S ) )
52	51	pssned 3705	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( N ` ( S \ { x } ) ) =/= ( N ` S ) )
53	52	3com23 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( N ` ( S \ { x } ) ) =/= ( N ` S ) )
54	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) /\ x e. S ) -> A e. (Moore ` X ) )
55	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) /\ x e. S ) -> S C_ X )
56		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
57	54, 6, 55, 56	mrieqvlemd 16289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) <-> ( N ` ( S \ { x } ) ) = ( N ` S ) ) )
58	57	necon3bbid 2831	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) <-> ( N ` ( S \ { x } ) ) =/= ( N ` S ) ) )
59	53, 58	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) /\ x e. S ) -> -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) )
60	59	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> ( x e. S -> -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) )
61	60	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) -> A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) )
62	61	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) -> A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) )
63	6, 14, 3, 33	ismri2d 16293	. . 3 |- ( ph -> ( S e. I <-> A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) )
64	62, 63	sylibrd 249	. 2 |- ( ph -> ( A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) -> S e. I ) )
65	30, 64	impbid 202	1 |- ( ph -> ( S e. I <-> A. s ( s C. S -> ( N ` s ) C. ( N ` S ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   ` cfv 5888  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  mrIndcmri 16244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-mri 16248

This theorem is referenced by:  mrissmrcd  16300