Theorem nmopval 28715

Description: Value of the norm of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopval	|- ( T : ~H --> ~H -> ( normop ` T ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) )

Distinct variable group:   x, y, T

Proof of Theorem nmopval

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11974	. . 3 |- < Or RR*
2	1	supex 8369	. 2 |- sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) e. _V
3		ax-hilex 27856	. 2 |- ~H e. _V
4		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( t ` y ) = ( T ` y ) )
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( normh ` ( t ` y ) ) = ( normh ` ( T ` y ) ) )
6	5	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( x = ( normh ` ( t ` y ) ) <-> x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) )
7	6	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( t = T -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( t ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) )
8	7	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( t = T -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( t ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) )
9	8	abbidv 2741	. . 3 |- ( t = T -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( t ` y ) ) ) } = { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } )
10	9	supeq1d 8352	. 2 |- ( t = T -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( t ` y ) ) ) } , RR* , < ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
11		df-nmop 28698	. 2 |- normop = ( t e. ( ~H ^m ~H ) |-> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( t ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
12	2, 3, 3, 10, 11	fvmptmap 7894	1 |- ( T : ~H --> ~H -> ( normop ` T ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   {cab 2608   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ~Hchil 27776   normhcno 27780   normopcnop 27802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-hilex 27856

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-nmop 28698

This theorem is referenced by:  nmopxr  28725  nmoprepnf  28726  nmoplb  28766  nmopub  28767  nmopnegi  28824  nmop0  28845  nmlnop0iALT  28854  nmopun  28873  nmcopexi  28886  pjnmopi  29007