Theorem nmopun 28873

Description: Norm of a unitary Hilbert space operator. (Contributed by NM, 25-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopun	|- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> ( normop ` T ) = 1 )

Proof of Theorem nmopun

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unoplin 28779	. . . . 5 |- ( T e. UniOp -> T e. LinOp )
2		lnopf 28718	. . . . 5 |- ( T e. LinOp -> T : ~H --> ~H )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( T e. UniOp -> T : ~H --> ~H )
4		nmopval 28715	. . . 4 |- ( T : ~H --> ~H -> ( normop ` T ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( T e. UniOp -> ( normop ` T ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
6	5	adantl 482	. 2 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> ( normop ` T ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) )
7		nmopsetretHIL 28723	. . . . . . 7 |- ( T : ~H --> ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } C_ RR )
8		ressxr 10083	. . . . . . 7 |- RR C_ RR*
9	7, 8	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( T : ~H --> ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } C_ RR* )
10	3, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( T e. UniOp -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } C_ RR* )
11	10	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } C_ RR* )
12		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
13	12	rexri 10097	. . . 4 |- 1 e. RR*
14	11, 13	jctir 561	. . 3 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } C_ RR* /\ 1 e. RR* ) )
15		vex 3203	. . . . . . 7 |- z e. _V
16		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x = ( normh ` ( T ` y ) ) <-> z = ( normh ` ( T ` y ) ) ) )
17	16	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) )
18	17	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) )
19	15, 18	elab 3350	. . . . . 6 |- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( T ` y ) ) ) )
20		unopnorm 28776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` y ) ) = ( normh ` y ) )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) -> ( z = ( normh ` ( T ` y ) ) <-> z = ( normh ` y ) ) )
22	21	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( T ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` y ) ) ) )
23		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( normh ` y ) -> ( z <_ 1 <-> ( normh ` y ) <_ 1 ) )
24	23	biimparc 504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` y ) ) -> z <_ 1 )
25	22, 24	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( T ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) )
26	25	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( T e. UniOp -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( T ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) )
27	26	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( T e. UniOp /\ E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) -> z <_ 1 )
28	19, 27	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( T e. UniOp /\ z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } ) -> z <_ 1 )
29	28	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( T e. UniOp -> A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } z <_ 1 )
30	29	adantl 482	. . 3 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } z <_ 1 )
31		hne0 28406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~H =/= 0H <-> E. y e. ~H y =/= 0h )
32		norm1hex 28108	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. ~H y =/= 0h <-> E. y e. ~H ( normh ` y ) = 1 )
33	31, 32	sylbb 209	. . . . . . . . . 10 |- ( ~H =/= 0H -> E. y e. ~H ( normh ` y ) = 1 )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> E. y e. ~H ( normh ` y ) = 1 )
35		1le1 10655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 <_ 1
36		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> ( ( normh ` y ) <_ 1 <-> 1 <_ 1 ) )
37	35, 36	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> ( normh ` y ) <_ 1 )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` y ) = 1 -> ( normh ` y ) <_ 1 ) )
39	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` ( T ` y ) ) = ( normh ` y ) )
40		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( normh ` y ) = 1 -> ( ( normh ` ( T ` y ) ) = ( normh ` y ) <-> ( normh ` ( T ` y ) ) = 1 ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( ( normh ` ( T ` y ) ) = ( normh ` y ) <-> ( normh ` ( T ` y ) ) = 1 ) )
42	39, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` ( T ` y ) ) = 1 )
43	42	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` y ) = 1 -> 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) ) )
45	38, 44	jcad 555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` y ) = 1 -> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) )
46	45	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` y ) = 1 -> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) )
47	46	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> ( E. y e. ~H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) )
48	34, 47	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) ) )
49		1ex 10035	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
50		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( x = ( normh ` ( T ` y ) ) <-> 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) ) )
51	50	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) )
52	51	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) ) ) )
53	49, 52	elab 3350	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( T ` y ) ) ) )
54	48, 53	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } )
55	54	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) /\ z e. RR ) -> 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } )
56		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( z < w <-> z < 1 ) )
57	56	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } z < w )
58	55, 57	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) /\ z e. RR ) /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } z < w )
59	58	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) /\ z e. RR ) -> ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } z < w ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } z < w ) )
61		supxr2 12144	. . 3 |- ( ( ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } C_ RR* /\ 1 e. RR* ) /\ ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } z < w ) ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
62	14, 30, 60, 61	syl12anc 1324	. 2 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( T ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 )
63	6, 62	eqtrd 2656	1 |- ( ( ~H =/= 0H /\ T e. UniOp ) -> ( normop ` T ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ~Hchil 27776   normhcno 27780   0hc0v 27781   0Hc0h 27792   normopcnop 27802   LinOpclo 27804   UniOpcuo 27806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-sh 28064  df-ch 28078  df-ch0 28110  df-nmop 28698  df-lnop 28700  df-unop 28702

This theorem is referenced by:  unopbd  28874  unierri  28963