Theorem xrltso 11974

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	|- < Or RR*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 11972	. 2 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x < y <-> -. ( x = y \/ y < x ) ) )
2		xrlttr 11973	. 2 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
3	1, 2	isso2i 5067	1 |- < Or RR*

Syntax hints:   Or wor 5034   RR*cxr 10073   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  xrlttri2  11975  xrlttri3  11976  xrltne  11994  xmullem  12094  xmulasslem  12115  supxr  12143  supxrcl  12145  supxrun  12146  supxrmnf  12147  supxrunb1  12149  supxrunb2  12150  supxrub  12154  supxrlub  12155  infxrcl  12163  infxrlb  12164  infxrgelb  12165  xrinf0  12168  infmremnf  12173  limsupval  14205  limsupgval  14207  limsupgre  14212  ramval  15712  ramcl2lem  15713  prdsdsfn  16125  prdsdsval  16138  imasdsfn  16174  imasdsval  16175  prdsmet  22175  xpsdsval  22186  prdsbl  22296  tmsxpsval2  22344  nmoval  22519  xrge0tsms2  22638  metdsval  22650  iccpnfhmeo  22744  xrhmeo  22745  ovolval  23242  ovolf  23250  ovolctb  23258  itg2val  23495  mdegval  23823  mdegldg  23826  mdegxrf  23828  mdegcl  23829  aannenlem2  24084  nmooval  27618  nmoo0  27646  nmopval  28715  nmfnval  28735  nmop0  28845  nmfn0  28846  xrsupssd  29524  xrge0infssd  29526  infxrge0lb  29529  infxrge0glb  29530  infxrge0gelb  29531  xrsclat  29680  xrge0iifiso  29981  esumval  30108  esumnul  30110  esum0  30111  gsumesum  30121  esumsnf  30126  esumpcvgval  30140  esum2d  30155  omsfval  30356  omsf  30358  oms0  30359  omssubaddlem  30361  omssubadd  30362  mblfinlem2  33447  ovoliunnfl  33451  voliunnfl  33453  volsupnfl  33454  itg2addnclem  33461  radcnvrat  38513  infxrglb  39556  xrgtso  39561  infxr  39583  infxrunb2  39584  infxrpnf  39674  limsup0  39926  limsuppnfdlem  39933  limsupequzlem  39954  supcnvlimsup  39972  limsuplt2  39985  liminfval  39991  limsupge  39993  liminfgval  39994  liminfval2  40000  limsup10ex  40005  liminf10ex  40006  liminflelimsuplem  40007  cnrefiisplem  40055  etransclem48  40499  sge0val  40583  sge0z  40592  sge00  40593  sge0sn  40596  sge0tsms  40597  ovnval2  40759  smflimsuplem1  41026  smflimsuplem2  41027  smflimsuplem4  41029  smflimsuplem7  41032