HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopub Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nmopub 28767
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopub |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. RR* ) -> ( ( normop ` T ) <_ A <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, T
Proof of Theorem nmopub
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopval 28715 . . . 4 |- ( T : ~H --> ~H -> ( normop ` T ) = sup ( { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) )
21adantr 481 . . 3 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. RR* ) -> ( normop ` T ) = sup ( { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) )
32breq1d 4663 . 2 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. RR* ) -> ( ( normop ` T ) <_ A <-> sup ( { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) <_ A ) )
4 nmopsetretALT 28722 . . . . 5 |- ( T : ~H --> ~H -> { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR )
5 ressxr 10083 . . . . 5 |- RR C_ RR*
64, 5syl6ss 3615 . . . 4 |- ( T : ~H --> ~H -> { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR* )
7 supxrleub 12156 . . . 4 |- ( ( { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } C_ RR* /\ A e. RR* ) -> ( sup ( { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) <_ A <-> A. z e. { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } z <_ A ) )
86, 7sylan 488 . . 3 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. RR* ) -> ( sup ( { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) <_ A <-> A. z e. { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } z <_ A ) )
9 ancom 466 . . . . . . 7 |- ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) <-> ( y = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) )
10 eqeq1 2626 . . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( y = ( normh ` ( T ` x ) ) <-> z = ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
1110anbi1d 741 . . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( y = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) <-> ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) )
129, 11syl5bb 272 . . . . . 6 |- ( y = z -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) <-> ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) )
1312rexbidv 3052 . . . . 5 |- ( y = z -> ( E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) <-> E. x e. ~H ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) ) )
1413ralab 3367 . . . 4 |- ( A. z e. { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } z <_ A <-> A. z ( E. x e. ~H ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) )
15 ralcom4 3224 . . . . 5 |- ( A. x e. ~H A. z ( ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) <-> A. z A. x e. ~H ( ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) )
16 impexp 462 . . . . . . . 8 |- ( ( ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) <-> ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> z <_ A ) ) )
1716albii 1747 . . . . . . 7 |- ( A. z ( ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) <-> A. z ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> z <_ A ) ) )
18 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( normh ` ( T ` x ) ) e. _V
19 breq1 4656 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) -> ( z <_ A <-> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
2019imbi2d 330 . . . . . . . 8 |- ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) -> ( ( ( normh ` x ) <_ 1 -> z <_ A ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
2118, 20ceqsalv 3233 . . . . . . 7 |- ( A. z ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> z <_ A ) ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
2217, 21bitri 264 . . . . . 6 |- ( A. z ( ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) <-> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
2322ralbii 2980 . . . . 5 |- ( A. x e. ~H A. z ( ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
24 r19.23v 3023 . . . . . 6 |- ( A. x e. ~H ( ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) <-> ( E. x e. ~H ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) )
2524albii 1747 . . . . 5 |- ( A. z A. x e. ~H ( ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) <-> A. z ( E. x e. ~H ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) )
2615, 23, 253bitr3i 290 . . . 4 |- ( A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) <-> A. z ( E. x e. ~H ( z = ( normh ` ( T ` x ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> z <_ A ) )
2714, 26bitr4i 267 . . 3 |- ( A. z e. { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } z <_ A <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
288, 27syl6bb 276 . 2 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. RR* ) -> ( sup ( { y | E. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 /\ y = ( normh ` ( T ` x ) ) ) } , RR* , < ) <_ A <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
293, 28bitrd 268 1 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. RR* ) -> ( ( normop ` T ) <_ A <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ~Hchil 27776   normhcno 27780   normopcnop 27802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hv0cl 27860  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-hnorm 27825  df-nmop 28698
This theorem is referenced by:  nmopub2tALT  28768  nmophmi  28890  nmopadjlem  28948  nmoptrii  28953  nmopcoi  28954  nmopcoadji  28960
  Copyright terms: Public domain W3C validator