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Theorem nrmhmph 21597
Description: Normality is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhmph |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Proof of Theorem nrmhmph
Dummy variables w f x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 21579 . 2 |- ( J ~= K <-> ( J Homeo K ) =/= (/) )
2 n0 3931 . . 3 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) <-> E. f f e. ( J Homeo K ) )
3 hmeocn 21563 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f e. ( J Cn K ) )
43adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
5 cntop2 21045 . . . . . . 7 |- ( f e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
64, 5syl 17 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Top )
7 simpll 790 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> J e. Nrm )
84adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
9 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> x e. K )
10 cnima 21069 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ x e. K ) -> ( `' f " x ) e. J )
118, 9, 10syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " x ) e. J )
12 inss1 3833 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ( Clsd ` K )
13 simprr 796 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) )
1412, 13sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
15 cnclima 21072 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Cn K ) /\ y e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
168, 14, 15syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) )
17 inss2 3834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) C_ ~P x
1817, 13sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y e. ~P x )
1918elpwid 4170 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> y C_ x )
20 imass2 5501 . . . . . . . . . 10 |- ( y C_ x -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) )
22 nrmsep3 21159 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Nrm /\ ( ( `' f " x ) e. J /\ ( `' f " y ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( `' f " y ) C_ ( `' f " x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
237, 11, 16, 21, 22syl13anc 1328 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
24 simpllr 799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f e. ( J Homeo K ) )
25 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w e. J )
26 hmeoima 21568 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w e. J ) -> ( f " w ) e. K )
2724, 25, 26syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " w ) e. K )
28 simprrl 804 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( `' f " y ) C_ w )
29 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
30 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. K = U. K
3129, 30hmeof1o 21567 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> f : U. J -1-1-onto-> U. K )
33 f1ofun 6139 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> Fun f )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> Fun f )
3514adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y e. ( Clsd ` K ) )
3630cldss 20833 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( Clsd ` K ) -> y C_ U. K )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ U. K )
38 f1ofo 6144 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> f : U. J -onto-> U. K )
39 forn 6118 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : U. J -onto-> U. K -> ran f = U. K )
4032, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ran f = U. K )
4137, 40sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ran f )
42 funimass1 5971 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun f /\ y C_ ran f ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4334, 41, 42syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( `' f " y ) C_ w -> y C_ ( f " w ) ) )
4428, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> y C_ ( f " w ) )
45 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
4645ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> w C_ U. J )
4729hmeocls 21571 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( J Homeo K ) /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
4824, 46, 47syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) = ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
49 simprrr 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) )
50 nrmtop 21140 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
5150ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> J e. Top )
5229clsss3 20863 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
5351, 46, 52syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ U. J )
54 f1odm 6141 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : U. J -1-1-onto-> U. K -> dom f = U. J )
5532, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> dom f = U. J )
5653, 55sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f )
57 funimass3 6333 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun f /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ dom f ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5834, 56, 57syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) )
5949, 58mpbird 247 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( f " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ x )
6048, 59eqsstrd 3639 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x )
61 sseq2 3627 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( y C_ z <-> y C_ ( f " w ) ) )
62 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( cls ` K ) ` z ) = ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) )
6362sseq1d 3632 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x <-> ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) )
6461, 63anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( f " w ) -> ( ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) <-> ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) )
6564rspcev 3309 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( f " w ) e. K /\ ( y C_ ( f " w ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( f " w ) ) C_ x ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6627, 44, 60, 65syl12anc 1324 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' f " y ) C_ w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' f " x ) ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6723, 66rexlimddv 3035 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) /\ ( x e. K /\ y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) ) ) -> E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
6867ralrimivva 2971 . . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) )
69 isnrm 21139 . . . . . 6 |- ( K e. Nrm <-> ( K e. Top /\ A. x e. K A. y e. ( ( Clsd ` K ) i^i ~P x ) E. z e. K ( y C_ z /\ ( ( cls ` K ) ` z ) C_ x ) ) )
706, 68, 69sylanbrc 698 . . . . 5 |- ( ( J e. Nrm /\ f e. ( J Homeo K ) ) -> K e. Nrm )
7170expcom 451 . . . 4 |- ( f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
7271exlimiv 1858 . . 3 |- ( E. f f e. ( J Homeo K ) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
732, 72sylbi 207 . 2 |- ( ( J Homeo K ) =/= (/) -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
741, 73sylbi 207 1 |- ( J ~= K -> ( J e. Nrm -> K e. Nrm ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Cn ccn 21028   Nrmcnrm 21114   Homeochmeo 21556   ~= chmph 21557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cls 20825  df-cn 21031  df-nrm 21121  df-hmeo 21558  df-hmph 21559
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