Theorem hmph0 21598

Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmph0	|- ( J ~= { (/) } <-> J = { (/) } )

Proof of Theorem hmph0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmphen 21588	. . . 4 |- ( J ~= { (/) } -> J ~~ { (/) } )
2		df1o2 7572	. . . 4 |- 1o = { (/) }
3	1, 2	syl6breqr 4695	. . 3 |- ( J ~= { (/) } -> J ~~ 1o )
4		hmphtop1 21582	. . . 4 |- ( J ~= { (/) } -> J e. Top )
5		en1top 20788	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( J ~~ 1o <-> J = { (/) } ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( J ~= { (/) } -> ( J ~~ 1o <-> J = { (/) } ) )
7	3, 6	mpbid 222	. 2 |- ( J ~= { (/) } -> J = { (/) } )
8		id 22	. . 3 |- ( J = { (/) } -> J = { (/) } )
9		sn0top 20803	. . . 4 |- { (/) } e. Top
10		hmphref 21584	. . . 4 |- ( { (/) } e. Top -> { (/) } ~= { (/) } )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- { (/) } ~= { (/) }
12	8, 11	syl6eqbr 4692	. 2 |- ( J = { (/) } -> J ~= { (/) } )
13	7, 12	impbii 199	1 |- ( J ~= { (/) } <-> J = { (/) } )

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   1oc1o 7553   ~~ cen 7952   Topctop 20698   ~= chmph 21557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-hmeo 21558  df-hmph 21559

This theorem is referenced by:  hmphindis  21600