Theorem ntrclsk13 38369

Description: The interior of the intersection of any pair is equal to the intersection of the interiors if and only if the closure of the unions of any pair is equal to the union of closures. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrcls.o	|- O = ( i e. _V |-> ( k e. ( ~P i ^m ~P i ) |-> ( j e. ~P i |-> ( i \ ( k ` ( i \ j ) ) ) ) ) )
ntrcls.d	|- D = ( O ` B )
ntrcls.r	|- ( ph -> I D K )

Assertion

Ref	Expression
ntrclsk13	|- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s i^i t ) ) = ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, s, t, i, j, k   I, s, t, i, j, k   ph, s, t, i, j, k

Allowed substitution hints:   D( t, i, j, k, s)   K( t, i, j, k, s)   O( t, i, j, k, s)

Proof of Theorem ntrclsk13

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 3807	. . . . 5 |- ( s = a -> ( s i^i t ) = ( a i^i t ) )
2	1	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( s = a -> ( I ` ( s i^i t ) ) = ( I ` ( a i^i t ) ) )
3		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( s = a -> ( I ` s ) = ( I ` a ) )
4	3	ineq1d 3813	. . . 4 |- ( s = a -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( s = a -> ( ( I ` ( s i^i t ) ) = ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) <-> ( I ` ( a i^i t ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) ) )
6		ineq2 3808	. . . . 5 |- ( t = b -> ( a i^i t ) = ( a i^i b ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( t = b -> ( I ` ( a i^i t ) ) = ( I ` ( a i^i b ) ) )
8		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( t = b -> ( I ` t ) = ( I ` b ) )
9	8	ineq2d 3814	. . . 4 |- ( t = b -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) )
10	7, 9	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( t = b -> ( ( I ` ( a i^i t ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) <-> ( I ` ( a i^i b ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) ) )
11	5, 10	cbvral2v 3179	. 2 |- ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s i^i t ) ) = ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) <-> A. a e. ~P B A. b e. ~P B ( I ` ( a i^i b ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) )
12		ntrcls.d	. . . . . 6 |- D = ( O ` B )
13		ntrcls.r	. . . . . 6 |- ( ph -> I D K )
14	12, 13	ntrclsbex 38332	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
15		difssd 3738	. . . . 5 |- ( ph -> ( B \ s ) C_ B )
16	14, 15	sselpwd 4807	. . . 4 |- ( ph -> ( B \ s ) e. ~P B )
17	16	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( B \ s ) e. ~P B )
18		elpwi 4168	. . . 4 |- ( a e. ~P B -> a C_ B )
19	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a C_ B ) -> B e. _V )
20		difssd 3738	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a C_ B ) -> ( B \ a ) C_ B )
21	19, 20	sselpwd 4807	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a C_ B ) -> ( B \ a ) e. ~P B )
22		difeq2 3722	. . . . . . . 8 |- ( s = ( B \ a ) -> ( B \ s ) = ( B \ ( B \ a ) ) )
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( s = ( B \ a ) -> ( a = ( B \ s ) <-> a = ( B \ ( B \ a ) ) ) )
24		eqcom 2629	. . . . . . 7 |- ( a = ( B \ ( B \ a ) ) <-> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
25	23, 24	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( s = ( B \ a ) -> ( a = ( B \ s ) <-> ( B \ ( B \ a ) ) = a ) )
26	25	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a C_ B ) /\ s = ( B \ a ) ) -> ( a = ( B \ s ) <-> ( B \ ( B \ a ) ) = a ) )
27		dfss4 3858	. . . . . . 7 |- ( a C_ B <-> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
28	27	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( a C_ B -> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
29	28	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a C_ B ) -> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
30	21, 26, 29	rspcedvd 3317	. . . 4 |- ( ( ph /\ a C_ B ) -> E. s e. ~P B a = ( B \ s ) )
31	18, 30	sylan2 491	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P B ) -> E. s e. ~P B a = ( B \ s ) )
32		ineq1 3807	. . . . . . . 8 |- ( a = ( B \ s ) -> ( a i^i b ) = ( ( B \ s ) i^i b ) )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( a = ( B \ s ) -> ( I ` ( a i^i b ) ) = ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( a = ( B \ s ) -> ( I ` a ) = ( I ` ( B \ s ) ) )
35	34	ineq1d 3813	. . . . . . 7 |- ( a = ( B \ s ) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) )
36	33, 35	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( a = ( B \ s ) -> ( ( I ` ( a i^i b ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) <-> ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) ) )
37	36	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( a = ( B \ s ) -> ( A. b e. ~P B ( I ` ( a i^i b ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) <-> A. b e. ~P B ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) ) )
38	37	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) -> ( A. b e. ~P B ( I ` ( a i^i b ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) <-> A. b e. ~P B ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) ) )
39		difssd 3738	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B \ t ) C_ B )
40	14, 39	sselpwd 4807	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B \ t ) e. ~P B )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ t ) e. ~P B )
42		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ b e. ~P B ) -> ph )
43		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( b e. ~P B -> b C_ B )
44	43	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ b e. ~P B ) -> b C_ B )
45		difssd 3738	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B \ b ) C_ B )
46	14, 45	sselpwd 4807	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B \ b ) e. ~P B )
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b C_ B ) -> ( B \ b ) e. ~P B )
48		difeq2 3722	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( B \ b ) -> ( B \ t ) = ( B \ ( B \ b ) ) )
49	48	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( B \ b ) -> ( b = ( B \ t ) <-> b = ( B \ ( B \ b ) ) ) )
50		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( B \ ( B \ b ) ) <-> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
51	49, 50	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( B \ b ) -> ( b = ( B \ t ) <-> ( B \ ( B \ b ) ) = b ) )
52	51	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b C_ B ) /\ t = ( B \ b ) ) -> ( b = ( B \ t ) <-> ( B \ ( B \ b ) ) = b ) )
53		dfss4 3858	. . . . . . . . . 10 |- ( b C_ B <-> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
54	53	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( b C_ B -> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
55	54	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b C_ B ) -> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
56	47, 52, 55	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b C_ B ) -> E. t e. ~P B b = ( B \ t ) )
57	42, 44, 56	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ b e. ~P B ) -> E. t e. ~P B b = ( B \ t ) )
58		ineq2 3808	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( B \ s ) i^i b ) = ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) )
59		difundi 3879	. . . . . . . . . . 11 |- ( B \ ( s u. t ) ) = ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) )
60	58, 59	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( B \ s ) i^i b ) = ( B \ ( s u. t ) ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( B \ t ) -> ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( B \ t ) -> ( I ` b ) = ( I ` ( B \ t ) ) )
63	62	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) )
64	61, 63	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) <-> ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) )
65	64	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) <-> ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) )
66		simp1l 1085	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ph )
67	66, 14	jccir 562	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ph /\ B e. _V ) )
68		simp1r 1086	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> s e. ~P B )
69		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> t e. ~P B )
70		ntrcls.o	. . . . . . . . . . . . . 14 |- O = ( i e. _V |-> ( k e. ( ~P i ^m ~P i ) |-> ( j e. ~P i |-> ( i \ ( k ` ( i \ j ) ) ) ) ) )
71	70, 12, 13	ntrclsiex 38351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
72		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I : ~P B --> ~P B )
74	73	anim1i 592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. _V ) -> ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) )
76		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> I : ~P B --> ~P B )
77		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> B e. _V )
78		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( B \ ( s u. t ) ) C_ B )
79	77, 78	sselpwd 4807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( B \ ( s u. t ) ) e. ~P B )
80	76, 79	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) e. ~P B )
81	80	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) C_ B )
82		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( B \ s ) C_ B )
83	77, 82	sselpwd 4807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( B \ s ) e. ~P B )
84	76, 83	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( I ` ( B \ s ) ) e. ~P B )
85	84	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( I ` ( B \ s ) ) C_ B )
86		ssinss1 3841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` ( B \ s ) ) C_ B -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B )
88	81, 87	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I : ~P B --> ~P B /\ B e. _V ) -> ( ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) C_ B /\ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B ) )
89		rcompleq 38318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) C_ B /\ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B ) -> ( ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) <-> ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) = ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) ) )
90	75, 88, 89	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) <-> ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) = ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) ) )
91		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> B e. _V )
92	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( D ` I ) = ( D ` I )
94		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> s e. ~P B )
95	94	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> s C_ B )
96		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> t e. ~P B )
97	96	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> t C_ B )
98	95, 97	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( s u. t ) C_ B )
99	91, 98	sselpwd 4807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( s u. t ) e. ~P B )
100		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) )
101	70, 12, 91, 92, 93, 99, 100	dssmapfv3d 38313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) )
102		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> s e. ~P B )
103		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ s e. ~P B ) -> B e. _V )
104	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ s e. ~P B ) -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
105		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ s e. ~P B ) -> s e. ~P B )
106		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D ` I ) ` s ) = ( ( D ` I ) ` s )
107	70, 12, 103, 104, 93, 105, 106	dssmapfv3d 38313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ s e. ~P B ) -> ( ( D ` I ) ` s ) = ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) )
108	102, 107	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( D ` I ) ` s ) = ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) )
109		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> t e. ~P B )
110		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ t e. ~P B ) -> B e. _V )
111	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ t e. ~P B ) -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
112		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ t e. ~P B ) -> t e. ~P B )
113		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D ` I ) ` t ) = ( ( D ` I ) ` t )
114	70, 12, 110, 111, 93, 112, 113	dssmapfv3d 38313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( D ` I ) ` t ) = ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) )
115	109, 114	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( D ` I ) ` t ) = ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) )
116	108, 115	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( ( D ` I ) ` s ) u. ( ( D ` I ) ` t ) ) = ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) )
117		difindi 3881	. . . . . . . . . . 11 |- ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) )
118	116, 117	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( ( D ` I ) ` s ) u. ( ( D ` I ) ` t ) ) = ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) )
119	101, 118	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( ( ( D ` I ) ` s ) u. ( ( D ` I ) ` t ) ) <-> ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) = ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) ) )
120		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ph )
121	70, 12, 13	ntrclsfv1 38353	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ` I ) = K )
122		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D ` I ) = K -> ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( K ` ( s u. t ) ) )
123		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D ` I ) = K -> ( ( D ` I ) ` s ) = ( K ` s ) )
124		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D ` I ) = K -> ( ( D ` I ) ` t ) = ( K ` t ) )
125	123, 124	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D ` I ) = K -> ( ( ( D ` I ) ` s ) u. ( ( D ` I ) ` t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) )
126	122, 125	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D ` I ) = K -> ( ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( ( ( D ` I ) ` s ) u. ( ( D ` I ) ` t ) ) <-> ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
127	120, 121, 126	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( ( ( D ` I ) ` s ) u. ( ( D ` I ) ` t ) ) <-> ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
128	90, 119, 127	3bitr2d 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B e. _V ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) <-> ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
129	67, 68, 69, 128	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) <-> ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
130	65, 129	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) <-> ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
131	41, 57, 130	ralxfrd2 4884	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. b e. ~P B ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) <-> A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
132	131	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) -> ( A. b e. ~P B ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) <-> A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
133	38, 132	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) -> ( A. b e. ~P B ( I ` ( a i^i b ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) <-> A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
134	17, 31, 133	ralxfrd2 4884	. 2 |- ( ph -> ( A. a e. ~P B A. b e. ~P B ( I ` ( a i^i b ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
135	11, 134	syl5bb 272	1 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s i^i t ) ) = ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

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