Theorem caratheodorylem2 40741

Description: Caratheodory's construction is sigma-additive. Main part of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caratheodorylem2.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
caratheodorylem2.x	|- X = U. dom O
caratheodorylem2.s	|- S = (CaraGen ` O )
caratheodorylem2.e	|- ( ph -> E : NN --> S )
caratheodorylem2.5	|- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
caratheodorylem2.g	|- G = ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )

Assertion

Ref	Expression
caratheodorylem2	|- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, E, n   n, G   k, O, n   n, X   ph, k, n

Allowed substitution hints:   S( k, n)   G( k)   X( k)

Proof of Theorem caratheodorylem2

Dummy variables x m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodorylem2.o	. . 3 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		caratheodorylem2.x	. . 3 |- X = U. dom O
3		caratheodorylem2.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = (CaraGen ` O )
4	3	caragenss 40718	. . . . . . . . . 10 |- ( O e. OutMeas -> S C_ dom O )
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ dom O )
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S C_ dom O )
7		caratheodorylem2.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : NN --> S )
8	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. S )
9	6, 8	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. dom O )
10		elssuni 4467	. . . . . . 7 |- ( ( E ` n ) e. dom O -> ( E ` n ) C_ U. dom O )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) C_ U. dom O )
12	11, 2	syl6sseqr 3652	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) C_ X )
13	12	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( E ` n ) C_ X )
14		iunss 4561	. . . 4 |- ( U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X <-> A. n e. NN ( E ` n ) C_ X )
15	13, 14	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X )
16	1, 2, 15	omexrcl 40721	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
17		nnex 11026	. . . 4 |- NN e. _V
18	17	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> NN e. _V )
19	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> O e. OutMeas )
20	19, 2, 12	omecl 40717	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
22	20, 21	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
23	18, 22	sge0xrcl 40602	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
24		nfv 1843	. . 3 |- F/ n ph
25		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ n E
26		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	1, 2, 3	caragensspw 40723	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ~P X )
28	7, 27	fssd 6057	. . 3 |- ( ph -> E : NN --> ~P X )
29	24, 25, 1, 2, 26, 28	omeiunle 40731	. 2 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
30		elpwinss 39216	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> x C_ NN )
31	30	resmptd 5452	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) = ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) = (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
33	32	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) = (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
34		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> 1 e. ZZ )
35	30	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> x C_ NN )
36		elinel2 3800	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P NN i^i Fin ) -> x e. Fin )
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
38	34, 26, 35, 37	uzfissfz 39542	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> E. k e. NN x C_ ( 1 ... k ) )
39		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> x e. _V )
41	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> O e. OutMeas )
42	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> E : NN --> ~P X )
43		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ... k ) C_ NN
44		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x C_ ( 1 ... k ) /\ n e. x ) -> n e. ( 1 ... k ) )
45	43, 44	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x C_ ( 1 ... k ) /\ n e. x ) -> n e. NN )
46	45	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> n e. NN )
47	42, 46	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
48		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` n ) e. ~P X -> ( E ` n ) C_ X )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( E ` n ) C_ X )
50	41, 2, 49	omecl 40717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. x ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
52	50, 51	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
53	40, 52	sge0xrcl 40602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
54	53	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
55		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... k ) e. _V
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... k ) e. _V )
57		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
58	57, 20	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
60	58, 59	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : ( 1 ... k ) --> ( 0 [,] +oo ) )
61	56, 60	sge0xrcl 40602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
62	61	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
63	16	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) e. RR* )
64	55	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> ( 1 ... k ) e. _V )
65		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ph )
66	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
67	65, 66, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
68		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> x C_ ( 1 ... k ) )
69	64, 67, 68	sge0lessmpt 40616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
70	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> O e. OutMeas )
71	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E : NN --> S )
72		caratheodorylem2.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> Disj n e. NN ( E ` n ) )
74		caratheodorylem2.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G = ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
75		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n )
76		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m )
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
78	77	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m ) )
80		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( 1 ... k ) = ( 1 ... n ) )
81	80	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> U_ m e. ( 1 ... k ) ( E ` m ) = U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
82	79, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) = U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
83	75, 76, 82	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN |-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) ) = ( n e. NN |-> U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
84	74, 83	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( n e. NN |-> U_ m e. ( 1 ... n ) ( E ` m ) )
85		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. NN )
86	85, 26	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
88	70, 3, 26, 71, 73, 84, 87	caratheodorylem1 40740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( O ` ( G ` k ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
89	88	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = ( O ` ( G ` k ) ) )
90	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. NN ( E ` n ) C_ X )
91		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E ` n ) e. _V
92	55, 91	iunex 7147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) e. _V
93	74	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) e. _V ) -> ( G ` k ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
94	85, 92, 93	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) )
95	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( 1 ... k ) C_ NN )
96		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... k ) C_ NN -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
98	94, 97	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) C_ U_ n e. NN ( E ` n ) )
100	70, 2, 90, 99	omessle 40712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( O ` ( G ` k ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
101	89, 100	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
102	101	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. ( 1 ... k ) |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
103	54, 62, 63, 69, 102	xrletrd 11993	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ x C_ ( 1 ... k ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
104	103	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. NN -> ( x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) ) )
105	104	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( k e. NN -> ( x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) ) )
106	105	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( E. k e. NN x C_ ( 1 ... k ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) )
107	38, 106	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. x |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
108	33, 107	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
109	108	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ~P NN i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
110	18, 22, 16	sge0lefi 40615	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) <-> A. x e. ( ~P NN i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` x ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) ) )
111	109, 110	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) <_ ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) )
112	16, 23, 29, 111	xrletrid 11986	1 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. NN ( E ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  Σ^{^}csumge0 40579  OutMeascome 40703  CaraGenccaragen 40705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-ome 40704  df-caragen 40706

This theorem is referenced by:  caratheodory  40742