Theorem carageniuncllem2 40736

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carageniuncllem2.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
carageniuncllem2.s	|- S = (CaraGen ` O )
carageniuncllem2.x	|- X = U. dom O
carageniuncllem2.a	|- ( ph -> A C_ X )
carageniuncllem2.re	|- ( ph -> ( O ` A ) e. RR )
carageniuncllem2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
carageniuncllem2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
carageniuncllem2.e	|- ( ph -> E : Z --> S )
carageniuncllem2.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )
carageniuncllem2.g	|- G = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) )
carageniuncllem2.f	|- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( M..^ n ) ( E ` i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
carageniuncllem2	|- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )

Distinct variable groups:   A, n   i, E, n   n, F   i, M, n   n, O   S, i   n, X   i, Z, n   ph, i, n

Allowed substitution hints:   A( i)   S( n)   F( i)   G( i, n)   O( i)   X( i)   Y( i, n)

Proof of Theorem carageniuncllem2

Dummy variables k z m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carageniuncllem2.o	. . . 4 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		carageniuncllem2.x	. . . 4 |- X = U. dom O
3		carageniuncllem2.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ X )
4		carageniuncllem2.re	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` A ) e. RR )
5		inss1 3833	. . . . 5 |- ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ A
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ A )
7	1, 2, 3, 4, 6	omessre 40724	. . 3 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
8		difssd 3738	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ A )
9	1, 2, 3, 4, 8	omessre 40724	. . 3 |- ( ph -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
10		rexadd 12063	. . 3 |- ( ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR /\ ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) )
12		carageniuncllem2.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
13		ssinss1 3841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ X -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X )
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X )
15	1, 2	unidmex 39217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. _V )
16		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ X /\ X e. _V ) -> A e. _V )
17	3, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. _V )
18		inex1g 4801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
20		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V -> ( ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X <-> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X <-> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ X ) )
22	14, 21	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. ~P X )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) )
25	23, 24	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) : Z --> ~P X )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
27	26	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( A i^i ( F ` k ) ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
28	27	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) = ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) )
29	28	feq1i 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) : Z --> ~P X <-> ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) : Z --> ~P X )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) : Z --> ~P X <-> ( n e. Z |-> ( A i^i ( F ` n ) ) ) : Z --> ~P X ) )
31	25, 30	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) : Z --> ~P X )
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
33	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
34	28	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Z /\ ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V ) -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
36	35	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) )
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
38		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n ph
39		carageniuncllem2.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E : Z --> S )
40		carageniuncllem2.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( M..^ n ) ( E ` i ) ) )
41	38, 12, 39, 40	iundjiun 40677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( M ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( M ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )
42	41	simplrd 793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
43	42	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) = U_ n e. Z ( F ` n ) )
44	43	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) = ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) ) )
45		iunin2 4584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) = ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) )
46	45	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( F ` n ) ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) )
48	44, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) = U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
50	49, 7	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
51	37, 50	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) e. RR )
52		carageniuncllem2.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR+ )
53	1, 2, 12, 31, 51, 52	omeiunltfirp 40733	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) )
54	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
55		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z C_ Z )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> z C_ Z )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. z )
58	56, 57	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
59	58	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
60	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) e. _V )
61	59, 60, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( A i^i ( F ` n ) ) )
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
63	62	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
65	54, 64	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) <-> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
66	65	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
67	66	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( ( k e. Z |-> ( A i^i ( F ` k ) ) ) ` n ) ) + Y ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
68	53, 67	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
69		carageniuncllem2.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> M e. ZZ )
71	55	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z C_ Z )
72		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z e. Fin )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
74	70, 12, 71, 73	uzfissfz 39542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> E. k e. Z z C_ ( M ... k ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> E. k e. Z z C_ ( M ... k ) )
76	50	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
77		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ ( M ... k ) -> ( M ... k ) e. Fin )
78		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ ( M ... k ) -> z C_ ( M ... k ) )
79		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M ... k ) e. Fin /\ z C_ ( M ... k ) ) -> z e. Fin )
80	77, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ ( M ... k ) -> z e. Fin )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> z e. Fin )
82	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> O e. OutMeas )
83	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> A C_ X )
84	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` A ) e. RR )
85		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i ( F ` n ) ) C_ A
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ A )
87	82, 2, 83, 84, 86	omessre 40724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
88	81, 87	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
89	52	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. RR )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> Y e. RR )
91	88, 90	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
92	91	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
93		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M ... k ) e. Fin )
94	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A i^i ( F ` n ) ) C_ A )
95	1, 2, 3, 4, 94	omessre 40724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
97	93, 96	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
99	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR )
100	98, 99	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
101	100	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) e. RR )
102		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
103	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
104		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( M ... k ) e. Fin )
105	96	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. RR )
106		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR*
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> 0 e. RR* )
108		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- +oo e. RR*
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> +oo e. RR* )
110	1, 2, 14	omecl 40717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
112		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
113	107, 109, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... k ) ) -> 0 <_ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
114	113	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) /\ n e. ( M ... k ) ) -> 0 <_ ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
115		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> z C_ ( M ... k ) )
116	104, 105, 114, 115	fsumless 14528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) <_ sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
117	88, 103, 90, 116	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) <_ ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
118	117	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) <_ ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
119	76, 92, 101, 102, 118	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) /\ z C_ ( M ... k ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
120	119	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( z C_ ( M ... k ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
121	120	reximdv 3016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( E. k e. Z z C_ ( M ... k ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
122	75, 121	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
123	122	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
124	123	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
125	68, 124	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
126	49	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) = ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) )
127		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
128	126, 127	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
129	128	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
130	129	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( O ` U_ n e. Z ( A i^i ( F ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) )
131	125, 130	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
132		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) )
133	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> O e. OutMeas )
134		carageniuncllem2.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (CaraGen ` O )
135	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A C_ X )
136	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` A ) e. RR )
137	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> E : Z --> S )
138		carageniuncllem2.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) )
139		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
140	133, 134, 2, 135, 136, 12, 137, 138, 40, 139	carageniuncllem1 40735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) = ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) )
141	140	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
142	141	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
143	132, 142	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
144	143	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) )
145	144	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( sum_ n e. ( M ... k ) ( O ` ( A i^i ( F ` n ) ) ) + Y ) -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) )
146	131, 145	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
147	7	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
148	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) e. RR )
149		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( G ` k ) ) C_ A
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A i^i ( G ` k ) ) C_ A )
151	133, 2, 135, 136, 150	omessre 40724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) e. RR )
152	89	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> Y e. RR )
153	151, 152	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) e. RR )
154	153	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) e. RR )
155		difssd 3738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A \ ( G ` k ) ) C_ A )
156	133, 2, 135, 136, 155	omessre 40724	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. RR )
157	156	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. RR )
158		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
159	147, 154, 158	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) <_ ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) )
160	135	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A \ ( G ` k ) ) C_ X )
161		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( M ... n ) = ( M ... k ) )
162	161	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
163		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M ... k ) e. _V
164		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E ` i ) e. _V
165	163, 164	iunex 7147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) e. _V
166	162, 138, 165	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z -> ( G ` k ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
167		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( E ` i ) = ( E ` n ) )
168	167	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) = U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n )
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z -> U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) = U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) )
170	166, 169	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> ( G ` k ) = U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) )
171		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... k ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
172	12	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` M ) = Z
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... k ) -> ( ZZ>= ` M ) = Z )
174	171, 173	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... k ) -> i e. Z )
175	174	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ... k ) C_ Z
176		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M ... k ) C_ Z -> U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n )
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> U_ n e. ( M ... k ) ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
179	170, 178	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> ( G ` k ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
180	179	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
181	180	sscond 3747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) C_ ( A \ ( G ` k ) ) )
182	133, 2, 160, 181	omessle 40712	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) <_ ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) )
183	182	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) <_ ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) )
184	147, 148, 154, 157, 159, 183	le2addd 10646	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
185	151	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) e. CC )
186	89	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
187	186	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> Y e. CC )
188	156	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. CC )
189	185, 187, 188	add32d 10263	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) + Y ) )
190		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) e. RR /\ ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) e. RR ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
191	151, 156, 190	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
192	191	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) )
193	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> G = ( n e. Z |-> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) ) )
194	162	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ n = k ) -> U_ i e. ( M ... n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
195		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ph
196	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... k ) ) -> E : Z --> S )
197	174	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. Z )
198	196, 197	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... k ) ) -> ( E ` i ) e. S )
199	195, 1, 134, 93, 198	caragenfiiuncl 40729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) e. S )
200	199	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) e. S )
201	193, 194, 139, 200	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = U_ i e. ( M ... k ) ( E ` i ) )
202	201, 200	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. S )
203	133, 134, 2, 202, 135	caragensplit 40714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( O ` A ) )
204	192, 203	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( O ` A ) )
205	204	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) + Y ) = ( ( O ` A ) + Y ) )
206	189, 205	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` A ) + Y ) )
207	206	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) + ( O ` ( A \ ( G ` k ) ) ) ) = ( ( O ` A ) + Y ) )
208	184, 207	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )
209	208	3exp 1264	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. Z -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) ) ) )
210	209	rexlimdv 3030	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. Z ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) < ( ( O ` ( A i^i ( G ` k ) ) ) + Y ) -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) ) )
211	146, 210	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) + ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )
212	11, 211	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) +e ( O ` ( A \ U_ n e. Z ( E ` n ) ) ) ) <_ ( ( O ` A ) + Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   +ecxad 11944   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416  OutMeascome 40703  CaraGenccaragen 40705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-ome 40704  df-caragen 40706

This theorem is referenced by:  carageniuncl  40737