Theorem omeiunltfirp 40733

Description: If the outer measure of a countable union is not +oo, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunltfirp.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
omeiunltfirp.x	|- X = U. dom O
omeiunltfirp.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
omeiunltfirp.e	|- ( ph -> E : Z --> ~P X )
omeiunltfirp.re	|- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
omeiunltfirp.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
omeiunltfirp	|- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )

Distinct variable groups:   n, E, z   n, O, z   n, X   z, Y   n, Z, z   ph, n, z

Allowed substitution hints:   N( z, n)   X( z)   Y( n)

Proof of Theorem omeiunltfirp

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeiunltfirp.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` N )
2		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` N ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . 5 |- Z e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> Z e. _V )
5		omeiunltfirp.o	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O e. OutMeas )
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> O e. OutMeas )
7		omeiunltfirp.x	. . . . . . 7 |- X = U. dom O
8		omeiunltfirp.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : Z --> ~P X )
9	8	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
10		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( E ` n ) e. _V
11	10	elpw 4164	. . . . . . . 8 |- ( ( E ` n ) e. ~P X <-> ( E ` n ) C_ X )
12	9, 11	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) C_ X )
13	6, 7, 12	omecl 40717	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
15	13, 14	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : Z --> ( 0 [,] +oo ) )
17		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo )
18		omeiunltfirp.re	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
19	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
20	4, 16, 17, 19	sge0pnffigt 40613	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) )
21		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) )
22		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) )
23		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z C_ Z )
24	23	resmptd 5452	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) = (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) = (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
27	22, 26	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
28	27	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
29	18	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
31		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. ( ~P Z i^i Fin ) )
32	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> O e. OutMeas )
33	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> E : Z --> ~P X )
34	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> z C_ Z )
35		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. z )
36	34, 35	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
37	36	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> n e. Z )
38	33, 37	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) e. ~P X )
39	38, 11	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) C_ X )
40	32, 7, 39	omecl 40717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
42	40, 41	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : z --> ( 0 [,] +oo ) )
43	31, 42	sge0xrcl 40602	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
44	43	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR* )
45		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ~P Z i^i Fin ) -> z e. Fin )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
47		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
48		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> 0 e. RR* )
50		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- +oo e. RR*
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> +oo e. RR* )
52	32, 7, 39	omexrcl 40721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. RR* )
53		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( O ` ( E ` n ) ) )
54	49, 51, 40, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> 0 <_ ( O ` ( E ` n ) ) )
55	12	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. n e. Z ( E ` n ) C_ X )
56		iunss 4561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X <-> A. n e. Z ( E ` n ) C_ X )
57	55, 56	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> U_ n e. Z ( E ` n ) C_ X )
59	32, 7, 58	omexrcl 40721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR* )
60		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
61	37, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( E ` n ) C_ U_ n e. Z ( E ` n ) )
62	32, 7, 58, 61	omessle 40712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) <_ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) )
63	18	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < +oo )
64	63	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < +oo )
65	52, 59, 51, 62, 64	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) < +oo )
66	49, 51, 52, 54, 65	elicod 12224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67	47, 66	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. RR )
68	46, 67	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) e. RR )
69		omeiunltfirp.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. RR+ )
70	69	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR )
72	68, 71	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR )
73	72	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR* )
74	73	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR* )
75		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
76	66, 41	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) : z --> ( 0 [,) +oo ) )
77	46, 76	sge0fsum 40604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ k e. z ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) )
78		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( E ` n ) = ( E ` k ) )
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) /\ n = k ) -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
82		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> k e. z )
83		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( O ` ( E ` k ) ) e. _V )
84	78, 81, 82, 83	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) = ( O ` ( E ` k ) ) )
85	84	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z ( ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ` k ) = sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( E ` k ) = ( E ` n ) )
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( O ` ( E ` k ) ) = ( O ` ( E ` n ) ) )
88	87	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) )
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z ( O ` ( E ` k ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
90	77, 85, 89	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
91	69	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> Y e. RR+ )
92	68, 91	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
93	90, 92	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
95	30, 44, 74, 75, 94	xrlttrd 11990	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
96	21, 28, 95	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
97	96	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
98	97	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
99	98	reximdva 3017	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < (Σ^ ` ( ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) |` z ) ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
100	20, 99	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
101		simpl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ph )
102		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo )
103	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. _V )
104	103, 15	sge0repnf 40603	. . . . 5 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) )
105	104	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) )
106	102, 105	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
107		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ n ph
108		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ nΣ^
109		nfmpt1 4747	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) )
110	108, 109	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ n (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) )
111		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ n RR
112	110, 111	nfel 2777	. . . . . 6 |- F/ n (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR
113	107, 112	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ n ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
114	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> Z e. _V )
115	13	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
116	69	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> Y e. RR+ )
117		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
118	113, 114, 115, 116, 117	sge0ltfirpmpt 40625	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) )
119	18	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) e. RR )
120	117	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR )
121	72	ad4ant13 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) e. RR )
122		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n E
123	107, 122, 5, 7, 1, 8	omeiunle 40731	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
124	123	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) )
125		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) )
126		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ph )
127		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
128	127	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( O ` ( E ` n ) ) = ( O ` ( E ` m ) ) )
129	128	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) = ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) )
130	129	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) )
131	130	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR <-> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
132	131	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR -> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
133	132	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR )
134		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. ( ~P Z i^i Fin ) )
135	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
136	66	adantllr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ n e. z ) -> ( O ` ( E ` n ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
137	135, 136	sge0fsummpt 40607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( m e. Z |-> ( O ` ( E ` m ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
138	126, 133, 134, 137	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) )
139	138	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
140	139	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) = ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
141	125, 140	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
142	119, 120, 121, 124, 141	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
143	142	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) /\ z e. ( ~P Z i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) -> ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
144	143	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> ( E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) < ( (Σ^ ` ( n e. z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) + Y ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) ) )
145	118, 144	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) e. RR ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
146	101, 106, 145	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( n e. Z |-> ( O ` ( E ` n ) ) ) ) = +oo ) -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )
147	100, 146	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> E. z e. ( ~P Z i^i Fin ) ( O ` U_ n e. Z ( E ` n ) ) < ( sum_ n e. z ( O ` ( E ` n ) ) + Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579  OutMeascome 40703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-ome 40704

This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  40736