Theorem omessre 40724

Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omessre.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
omessre.x	|- X = U. dom O
omessre.a	|- ( ph -> A C_ X )
omessre.re	|- ( ph -> ( O ` A ) e. RR )
omessre.b	|- ( ph -> B C_ A )

Assertion

Ref	Expression
omessre	|- ( ph -> ( O ` B ) e. RR )

Proof of Theorem omessre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12280	. 2 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		0xr 10086	. . . 4 |- 0 e. RR*
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR* )
4		pnfxr 10092	. . . 4 |- +oo e. RR*
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> +oo e. RR* )
6		omessre.o	. . . 4 |- ( ph -> O e. OutMeas )
7		omessre.x	. . . 4 |- X = U. dom O
8		omessre.b	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ A )
9		omessre.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ X )
10	8, 9	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ph -> B C_ X )
11	6, 7, 10	omexrcl 40721	. . 3 |- ( ph -> ( O ` B ) e. RR* )
12	6, 7, 10	omecl 40717	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
13		iccgelb 12230	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( O ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( O ` B ) )
14	3, 5, 12, 13	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( O ` B ) )
15		omessre.re	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` A ) e. RR )
16	15	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` A ) e. RR* )
17	6, 7, 9, 8	omessle 40712	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` B ) <_ ( O ` A ) )
18	15	ltpnfd 11955	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` A ) < +oo )
19	11, 16, 5, 17, 18	xrlelttrd 11991	. . 3 |- ( ph -> ( O ` B ) < +oo )
20	3, 5, 11, 14, 19	elicod 12224	. 2 |- ( ph -> ( O ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
21	1, 20	sseldi 3601	1 |- ( ph -> ( O ` B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,)cico 12177   [,]cicc 12178  OutMeascome 40703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-icc 12182  df-ome 40704

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  40735  carageniuncllem2  40736