Theorem onsetreclem2 42449

Description: Lemma for onsetrec 42451. (Contributed by Emmett Weisz, 22-Jun-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
onsetreclem2.1	|- F = ( x e. _V |-> { U. x , suc U. x } )

Assertion

Ref	Expression
onsetreclem2	|- ( a C_ On -> ( F ` a ) C_ On )

Distinct variable group:   x, a

Allowed substitution hints:   F( x, a)

Proof of Theorem onsetreclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsetreclem2.1	. . 3 |- F = ( x e. _V |-> { U. x , suc U. x } )
2	1	onsetreclem1 42448	. 2 |- ( F ` a ) = { U. a , suc U. a }
3		vex 3203	. . . 4 |- a e. _V
4	3	ssonunii 6987	. . 3 |- ( a C_ On -> U. a e. On )
5		suceloni 7013	. . . 4 |- ( U. a e. On -> suc U. a e. On )
6		prssi 4353	. . . 4 |- ( ( U. a e. On /\ suc U. a e. On ) -> { U. a , suc U. a } C_ On )
7	5, 6	mpdan 702	. . 3 |- ( U. a e. On -> { U. a , suc U. a } C_ On )
8	4, 7	syl 17	. 2 |- ( a C_ On -> { U. a , suc U. a } C_ On )
9	2, 8	syl5eqss 3649	1 |- ( a C_ On -> ( F ` a ) C_ On )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  onsetrec  42451