Theorem unxpdomlem3 8166

Description: Lemma for unxpdom 8167. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unxpdomlem1.1	|- F = ( x e. ( a u. b ) |-> G )
unxpdomlem1.2	|- G = if ( x e. a , <. x , if ( x = m , t , s ) >. , <. if ( x = t , n , m ) , x >. )

Assertion

Ref	Expression
unxpdomlem3	|- ( ( 1o ~< a /\ 1o ~< b ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) )

Distinct variable group:   a, b, m, n, s, t, x

Allowed substitution hints:   F( x, t, m, n, s, a, b)   G( x, t, m, n, s, a, b)

Proof of Theorem unxpdomlem3

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . 3 |- a e. _V
2		1sdom 8163	. . 3 |- ( a e. _V -> ( 1o ~< a <-> E. m e. a E. n e. a -. m = n ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 1o ~< a <-> E. m e. a E. n e. a -. m = n )
4		vex 3203	. . 3 |- b e. _V
5		1sdom 8163	. . 3 |- ( b e. _V -> ( 1o ~< b <-> E. s e. b E. t e. b -. s = t ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 1o ~< b <-> E. s e. b E. t e. b -. s = t )
7		reeanv 3107	. . 3 |- ( E. m e. a E. s e. b ( E. n e. a -. m = n /\ E. t e. b -. s = t ) <-> ( E. m e. a E. n e. a -. m = n /\ E. s e. b E. t e. b -. s = t ) )
8		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. n e. a E. t e. b ( -. m = n /\ -. s = t ) <-> ( E. n e. a -. m = n /\ E. t e. b -. s = t ) )
9		unxpdomlem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- G = if ( x e. a , <. x , if ( x = m , t , s ) >. , <. if ( x = t , n , m ) , x >. )
10		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ x e. a ) -> x e. a )
11		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> t e. b )
12		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> s e. b )
13	11, 12	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> if ( x = m , t , s ) e. b )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ x e. a ) -> if ( x = m , t , s ) e. b )
15		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. a /\ if ( x = m , t , s ) e. b ) -> <. x , if ( x = m , t , s ) >. e. ( a X. b ) )
16	10, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ x e. a ) -> <. x , if ( x = m , t , s ) >. e. ( a X. b ) )
17		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> n e. a )
18		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> m e. a )
19	17, 18	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> if ( x = t , n , m ) e. a )
20	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ -. x e. a ) -> if ( x = t , n , m ) e. a )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) -> x e. ( a u. b ) )
22		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( a u. b ) <-> ( x e. a \/ x e. b ) )
23	21, 22	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) -> ( x e. a \/ x e. b ) )
24	23	orcanai 952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ -. x e. a ) -> x e. b )
25		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( x = t , n , m ) e. a /\ x e. b ) -> <. if ( x = t , n , m ) , x >. e. ( a X. b ) )
26	20, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) /\ -. x e. a ) -> <. if ( x = t , n , m ) , x >. e. ( a X. b ) )
27	16, 26	ifclda 4120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) -> if ( x e. a , <. x , if ( x = m , t , s ) >. , <. if ( x = t , n , m ) , x >. ) e. ( a X. b ) )
28	9, 27	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) /\ x e. ( a u. b ) ) -> G e. ( a X. b ) )
29		unxpdomlem1.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. ( a u. b ) |-> G )
30	28, 29	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> F : ( a u. b ) --> ( a X. b ) )
31	29, 9	unxpdomlem1 8164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( a u. b ) -> ( F ` z ) = if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) )
32	31	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> ( F ` z ) = if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) )
33		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. a -> if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) = <. z , if ( z = m , t , s ) >. )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. a /\ w e. a ) -> if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) = <. z , if ( z = m , t , s ) >. )
35	32, 34	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ w e. a ) ) -> ( F ` z ) = <. z , if ( z = m , t , s ) >. )
36	29, 9	unxpdomlem1 8164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( a u. b ) -> ( F ` w ) = if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) )
37	36	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> ( F ` w ) = if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) )
38		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. a -> if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) = <. w , if ( w = m , t , s ) >. )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. a /\ w e. a ) -> if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) = <. w , if ( w = m , t , s ) >. )
40	37, 39	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ w e. a ) ) -> ( F ` w ) = <. w , if ( w = m , t , s ) >. )
41	35, 40	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> <. z , if ( z = m , t , s ) >. = <. w , if ( w = m , t , s ) >. ) )
42		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
43		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- t e. _V
44		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- s e. _V
45	43, 44	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( z = m , t , s ) e. _V
46	42, 45	opth1 4944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. z , if ( z = m , t , s ) >. = <. w , if ( w = m , t , s ) >. -> z = w )
47	41, 46	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
48		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> w e. ( a u. b ) )
49		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> -. m = n )
50		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> -. s = t )
51	29, 9, 48, 49, 50	unxpdomlem2 8165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ -. w e. a ) ) -> -. ( F ` z ) = ( F ` w ) )
52	51	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
53		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> ( F ` w ) = ( F ` z ) )
54		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> z e. ( a u. b ) )
55	29, 9, 54, 49, 50	unxpdomlem2 8165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( w e. a /\ -. z e. a ) ) -> -. ( F ` w ) = ( F ` z ) )
56	55	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ w e. a ) ) -> -. ( F ` w ) = ( F ` z ) )
57	56	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ w e. a ) ) -> ( ( F ` w ) = ( F ` z ) -> z = w ) )
58	53, 57	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
59		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. z e. a -> if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) = <. if ( z = t , n , m ) , z >. )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. z e. a /\ -. w e. a ) -> if ( z e. a , <. z , if ( z = m , t , s ) >. , <. if ( z = t , n , m ) , z >. ) = <. if ( z = t , n , m ) , z >. )
61	32, 60	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( F ` z ) = <. if ( z = t , n , m ) , z >. )
62		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. w e. a -> if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) = <. if ( w = t , n , m ) , w >. )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. z e. a /\ -. w e. a ) -> if ( w e. a , <. w , if ( w = m , t , s ) >. , <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) = <. if ( w = t , n , m ) , w >. )
64	37, 63	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( F ` w ) = <. if ( w = t , n , m ) , w >. )
65	61, 64	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> <. if ( z = t , n , m ) , z >. = <. if ( w = t , n , m ) , w >. ) )
66		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- n e. _V
67		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- m e. _V
68	66, 67	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( z = t , n , m ) e. _V
69	68, 42	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. if ( z = t , n , m ) , z >. = <. if ( w = t , n , m ) , w >. <-> ( if ( z = t , n , m ) = if ( w = t , n , m ) /\ z = w ) )
70	69	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. if ( z = t , n , m ) , z >. = <. if ( w = t , n , m ) , w >. -> z = w )
71	65, 70	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) /\ ( -. z e. a /\ -. w e. a ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
72	47, 52, 58, 71	4casesdan 991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. m = n /\ -. s = t ) /\ ( z e. ( a u. b ) /\ w e. ( a u. b ) ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
73	72	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. m = n /\ -. s = t ) -> A. z e. ( a u. b ) A. w e. ( a u. b ) ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
74	73	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> A. z e. ( a u. b ) A. w e. ( a u. b ) ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
75		dff13 6512	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( a u. b ) -1-1-> ( a X. b ) <-> ( F : ( a u. b ) --> ( a X. b ) /\ A. z e. ( a u. b ) A. w e. ( a u. b ) ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) ) )
76	30, 74, 75	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> F : ( a u. b ) -1-1-> ( a X. b ) )
77	1, 4	unex 6956	. . . . . . . . 9 |- ( a u. b ) e. _V
78	1, 4	xpex 6962	. . . . . . . . 9 |- ( a X. b ) e. _V
79		f1dom2g 7973	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a u. b ) e. _V /\ ( a X. b ) e. _V /\ F : ( a u. b ) -1-1-> ( a X. b ) ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) )
80	77, 78, 79	mp3an12 1414	. . . . . . . 8 |- ( F : ( a u. b ) -1-1-> ( a X. b ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) )
81	76, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) /\ ( -. m = n /\ -. s = t ) ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) )
82	81	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. a /\ s e. b ) /\ ( n e. a /\ t e. b ) ) -> ( ( -. m = n /\ -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) )
83	82	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( m e. a /\ s e. b ) -> ( E. n e. a E. t e. b ( -. m = n /\ -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) )
84	8, 83	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( m e. a /\ s e. b ) -> ( ( E. n e. a -. m = n /\ E. t e. b -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) ) )
85	84	rexlimivv 3036	. . 3 |- ( E. m e. a E. s e. b ( E. n e. a -. m = n /\ E. t e. b -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) )
86	7, 85	sylbir 225	. 2 |- ( ( E. m e. a E. n e. a -. m = n /\ E. s e. b E. t e. b -. s = t ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) )
87	3, 6, 86	syl2anb 496	1 |- ( ( 1o ~< a /\ 1o ~< b ) -> ( a u. b ) ~<_ ( a X. b ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   1oc1o 7553   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  unxpdom  8167