Theorem canthwelem 9472

Description: Lemma for canthwe 9473. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
canthwe.1	|- O = { <. x , r >. | ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) }
canthwe.2	|- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x [. ( `' r " { y } ) / u ]. ( u F ( r i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) }
canthwe.3	|- B = U. dom W
canthwe.4	|- C = ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
canthwelem	|- ( A e. V -> -. F : O -1-1-> A )

Distinct variable groups:   u, r, x, y, B   C, r, x   O, r, u, x, y   V, r, u, x, y   A, r, u, x, y   F, r, u, x, y   W, r, u, x, y

Allowed substitution hints:   C( y, u)

Proof of Theorem canthwelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- B = B
2		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( W ` B ) = ( W ` B )
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( B = B /\ ( W ` B ) = ( W ` B ) )
4		canthwe.2	. . . . . . . 8 |- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x [. ( `' r " { y } ) / u ]. ( u F ( r i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) }
5		elex 3212	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> A e. _V )
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> A e. _V )
7		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 |- ( x F r ) = ( F ` <. x , r >. )
8		f1f 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : O -1-1-> A -> F : O --> A )
9	8	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> F : O --> A )
10		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) )
11		opabid 4982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , r >. e. { <. x , r >. | ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) } <-> ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) )
12	10, 11	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> <. x , r >. e. { <. x , r >. | ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) } )
13		canthwe.1	. . . . . . . . . . 11 |- O = { <. x , r >. | ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) }
14	12, 13	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> <. x , r >. e. O )
15	9, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( F ` <. x , r >. ) e. A )
16	7, 15	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x F r ) e. A )
17		canthwe.3	. . . . . . . 8 |- B = U. dom W
18	4, 6, 16, 17	fpwwe2 9465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( ( B W ( W ` B ) /\ ( B F ( W ` B ) ) e. B ) <-> ( B = B /\ ( W ` B ) = ( W ` B ) ) ) )
19	3, 18	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( B W ( W ` B ) /\ ( B F ( W ` B ) ) e. B ) )
20	19	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( B F ( W ` B ) ) e. B )
21		canthwe.4	. . . . . . . . . 10 |- C = ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } )
22	21, 21	xpeq12i 5137	. . . . . . . . . . 11 |- ( C X. C ) = ( ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) X. ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) )
23	22	ineq2i 3811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) = ( ( W ` B ) i^i ( ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) X. ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) ) )
24	21, 23	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 |- ( C F ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) = ( ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) F ( ( W ` B ) i^i ( ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) X. ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) ) ) )
25	19	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> B W ( W ` B ) )
26	4, 6, 25	fpwwe2lem3 9455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) /\ ( B F ( W ` B ) ) e. B ) -> ( ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) F ( ( W ` B ) i^i ( ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) X. ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) ) ) ) = ( B F ( W ` B ) ) )
27	20, 26	mpdan 702	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) F ( ( W ` B ) i^i ( ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) X. ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) ) ) ) = ( B F ( W ` B ) ) )
28	24, 27	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( C F ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) = ( B F ( W ` B ) ) )
29		df-ov 6653	. . . . . . . 8 |- ( C F ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) = ( F ` <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. )
30		df-ov 6653	. . . . . . . 8 |- ( B F ( W ` B ) ) = ( F ` <. B , ( W ` B ) >. )
31	28, 29, 30	3eqtr3g 2679	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( F ` <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. ) = ( F ` <. B , ( W ` B ) >. ) )
32		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> F : O -1-1-> A )
33		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) C_ dom ( W ` B )
34	4, 6	fpwwe2lem2 9454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( B W ( W ` B ) <-> ( ( B C_ A /\ ( W ` B ) C_ ( B X. B ) ) /\ ( ( W ` B ) We B /\ A. y e. B [. ( `' ( W ` B ) " { y } ) / u ]. ( u F ( ( W ` B ) i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) ) )
35	25, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( ( B C_ A /\ ( W ` B ) C_ ( B X. B ) ) /\ ( ( W ` B ) We B /\ A. y e. B [. ( `' ( W ` B ) " { y } ) / u ]. ( u F ( ( W ` B ) i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) )
36	35	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( B C_ A /\ ( W ` B ) C_ ( B X. B ) ) )
37	36	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( W ` B ) C_ ( B X. B ) )
38		dmss 5323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W ` B ) C_ ( B X. B ) -> dom ( W ` B ) C_ dom ( B X. B ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> dom ( W ` B ) C_ dom ( B X. B ) )
40		dmxpss 5565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( B X. B ) C_ B
41	39, 40	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> dom ( W ` B ) C_ B )
42	33, 41	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) C_ B )
43	21, 42	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> C C_ B )
44	36	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> B C_ A )
45	43, 44	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> C C_ A )
46		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) C_ ( C X. C )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) C_ ( C X. C ) )
48	35	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( ( W ` B ) We B /\ A. y e. B [. ( `' ( W ` B ) " { y } ) / u ]. ( u F ( ( W ` B ) i^i ( u X. u ) ) ) = y ) )
49	48	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( W ` B ) We B )
50		wess 5101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C C_ B -> ( ( W ` B ) We B -> ( W ` B ) We C ) )
51	43, 49, 50	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( W ` B ) We C )
52		weinxp 5186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W ` B ) We C <-> ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) We C )
53	51, 52	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) We C )
54		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W ` B ) e. _V
55	54	cnvex 7113	. . . . . . . . . . . . 13 |- `' ( W ` B ) e. _V
56	55	imaex 7104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) e. _V
57	21, 56	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- C e. _V
58	54	inex1 4799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) e. _V
59		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = C /\ r = ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) -> x = C )
60	59	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = C /\ r = ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) -> ( x C_ A <-> C C_ A ) )
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = C /\ r = ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) -> r = ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) )
62	59	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = C /\ r = ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) -> ( x X. x ) = ( C X. C ) )
63	61, 62	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = C /\ r = ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) -> ( r C_ ( x X. x ) <-> ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) C_ ( C X. C ) ) )
64		weeq2 5103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = C -> ( r We x <-> r We C ) )
65		weeq1 5102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) -> ( r We C <-> ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) We C ) )
66	64, 65	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = C /\ r = ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) -> ( r We x <-> ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) We C ) )
67	60, 63, 66	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = C /\ r = ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) <-> ( C C_ A /\ ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) C_ ( C X. C ) /\ ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) We C ) ) )
68	57, 58, 67	opelopaba 4991	. . . . . . . . . 10 |- ( <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. e. { <. x , r >. | ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) } <-> ( C C_ A /\ ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) C_ ( C X. C ) /\ ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) We C ) )
69	45, 47, 53, 68	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. e. { <. x , r >. | ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) } )
70	69, 13	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. e. O )
71	6, 44	ssexd 4805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> B e. _V )
72	54	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( W ` B ) e. _V )
73		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = B /\ r = ( W ` B ) ) -> x = B )
74	73	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = B /\ r = ( W ` B ) ) -> ( x C_ A <-> B C_ A ) )
75		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = B /\ r = ( W ` B ) ) -> r = ( W ` B ) )
76	73	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = B /\ r = ( W ` B ) ) -> ( x X. x ) = ( B X. B ) )
77	75, 76	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = B /\ r = ( W ` B ) ) -> ( r C_ ( x X. x ) <-> ( W ` B ) C_ ( B X. B ) ) )
78		weeq2 5103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( r We x <-> r We B ) )
79		weeq1 5102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = ( W ` B ) -> ( r We B <-> ( W ` B ) We B ) )
80	78, 79	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = B /\ r = ( W ` B ) ) -> ( r We x <-> ( W ` B ) We B ) )
81	74, 77, 80	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = B /\ r = ( W ` B ) ) -> ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) <-> ( B C_ A /\ ( W ` B ) C_ ( B X. B ) /\ ( W ` B ) We B ) ) )
82	81	opelopabga 4988	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. _V /\ ( W ` B ) e. _V ) -> ( <. B , ( W ` B ) >. e. { <. x , r >. | ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) } <-> ( B C_ A /\ ( W ` B ) C_ ( B X. B ) /\ ( W ` B ) We B ) ) )
83	71, 72, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( <. B , ( W ` B ) >. e. { <. x , r >. | ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) } <-> ( B C_ A /\ ( W ` B ) C_ ( B X. B ) /\ ( W ` B ) We B ) ) )
84	44, 37, 49, 83	mpbir3and 1245	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> <. B , ( W ` B ) >. e. { <. x , r >. | ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) } )
85	84, 13	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> <. B , ( W ` B ) >. e. O )
86		f1fveq 6519	. . . . . . . 8 |- ( ( F : O -1-1-> A /\ ( <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. e. O /\ <. B , ( W ` B ) >. e. O ) ) -> ( ( F ` <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. ) = ( F ` <. B , ( W ` B ) >. ) <-> <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. = <. B , ( W ` B ) >. ) )
87	32, 70, 85, 86	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( ( F ` <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. ) = ( F ` <. B , ( W ` B ) >. ) <-> <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. = <. B , ( W ` B ) >. ) )
88	31, 87	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. = <. B , ( W ` B ) >. )
89	57, 58	opth1 4944	. . . . . 6 |- ( <. C , ( ( W ` B ) i^i ( C X. C ) ) >. = <. B , ( W ` B ) >. -> C = B )
90	88, 89	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> C = B )
91	20, 90	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( B F ( W ` B ) ) e. C )
92	91, 21	syl6eleq 2711	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( B F ( W ` B ) ) e. ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) )
93		ovex 6678	. . . . 5 |- ( B F ( W ` B ) ) e. _V
94	93	eliniseg 5494	. . . 4 |- ( ( B F ( W ` B ) ) e. B -> ( ( B F ( W ` B ) ) e. ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) <-> ( B F ( W ` B ) ) ( W ` B ) ( B F ( W ` B ) ) ) )
95	20, 94	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( ( B F ( W ` B ) ) e. ( `' ( W ` B ) " { ( B F ( W ` B ) ) } ) <-> ( B F ( W ` B ) ) ( W ` B ) ( B F ( W ` B ) ) ) )
96	92, 95	mpbid 222	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( B F ( W ` B ) ) ( W ` B ) ( B F ( W ` B ) ) )
97		weso 5105	. . . 4 |- ( ( W ` B ) We B -> ( W ` B ) Or B )
98	49, 97	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> ( W ` B ) Or B )
99		sonr 5056	. . 3 |- ( ( ( W ` B ) Or B /\ ( B F ( W ` B ) ) e. B ) -> -. ( B F ( W ` B ) ) ( W ` B ) ( B F ( W ` B ) ) )
100	98, 20, 99	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : O -1-1-> A ) -> -. ( B F ( W ` B ) ) ( W ` B ) ( B F ( W ` B ) ) )
101	96, 100	pm2.65da 600	1 |- ( A e. V -> -. F : O -1-1-> A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   Or wor 5034   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  canthwe  9473