Theorem gsum2d2 18373

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that C ( j ) is a function of j.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d2.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2	|- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, B   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   j, V   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   V( k)   W( j, k)   X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsum2d2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsum2d2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsum2d2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
5		snex 4908	. . . . . 6 |- { j } e. _V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
7		xpexg 6960	. . . . . 6 |- ( ( { j } e. _V /\ C e. W ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
9	8	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
10		iunexg 7143	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V ) -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
11	4, 9, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
12		relxp 5227	. . . . . 6 |- Rel ( { j } X. C )
13	12	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
14		reliun 5239	. . . . 5 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
15	13, 14	mpbir 221	. . . 4 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) )
17		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
18	17	eldm2 5322	. . . . 5 |- ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
19		eliunxp 5259	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) )
20		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
21	17, 20	opth1 4944	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. = <. j , k >. -> x = j )
22	21	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x = j )
23		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> j e. A )
24	22, 23	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x e. A )
25	24	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
26	25	exlimdvv 1862	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
27	19, 26	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
28	27	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
29	18, 28	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
30	29	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ph -> dom U_ j e. A ( { j } X. C ) C_ A )
31		gsum2d2.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
32	31	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
33		eqid 2622	. . . . 5 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
34	33	fmpt2x 7236	. . . 4 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
35	32, 34	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
36		gsum2d2.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. Fin )
37		gsum2d2.n	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
38	1, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37	gsum2d2lem 18372	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )
39	1, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38	gsum2d 18371	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) )
40		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j G
41		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j gsumg
42		nfiu1 4550	. . . . . . . 8 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
43		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ j { m }
44	42, 43	nfima 5474	. . . . . . 7 |- F/_ j ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } )
45		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ j m
46		nfmpt21 6722	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
47		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ j n
48	45, 46, 47	nfov 6676	. . . . . . 7 |- F/_ j ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
49	44, 48	nfmpt 4746	. . . . . 6 |- F/_ j ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
50	40, 41, 49	nfov 6676	. . . . 5 |- F/_ j ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
51		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ m ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
52		sneq 4187	. . . . . . . 8 |- ( m = j -> { m } = { j } )
53	52	imaeq2d 5466	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) = ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) )
54		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
55	53, 54	mpteq12dv 4733	. . . . . 6 |- ( m = j -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
56	55	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( m = j -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
57	50, 51, 56	cbvmpt 4749	. . . 4 |- ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
58		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- j e. _V
59		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
60	58, 59	elimasn 5490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
61		opeliunxp 5170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
62	60, 61	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
63	62	baib 944	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. A -> ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> k e. C ) )
64	63	eqrdv 2620	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. A -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) = C )
65	64	mpteq1d 4738	. . . . . . . . 9 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
66		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k j
67		nfmpt22 6723	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
68		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k n
69	66, 67, 68	nfov 6676	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
70		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k )
71		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
72	69, 70, 71	cbvmpt 4749	. . . . . . . . 9 |- ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
73	65, 72	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
75		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> j e. A )
76		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> k e. C )
77	33	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
78	75, 76, 31, 77	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
79	78	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. C ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
80	79	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) = ( k e. C |-> X ) )
81	74, 80	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> X ) )
82	81	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) )
83	82	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
84	57, 83	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
85	84	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )
86	39, 85	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   "cima 5117   Rel wrel 5119   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  gsumdixp  18609  psrass1lem  19377  gsumcom3  20205  gsummpt2co  29780