poimirlem9 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem poimirlem9 33418

Description: Lemma for poimir 33442, establishing the two walks that yield a given face when the opposite vertex is neither first nor last. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
poimir.0
poimirlem22.s	..^
poimirlem9.1
poimirlem9.2
poimirlem9.3
poimirlem9.4

**Assertion**
Ref	Expression
poimirlem9	$\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem poimirlem9**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundi 5410	. . . 4 $\$ $\$
2		poimir.0	. . . . . . . . . . . . 13
3	2	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12
4		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . 12
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11
6	2	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12
7		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12
8		uzid 11702	. . . . . . . . . . . 12
9		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . 12
10	6, 7, 8, 9	4syl 19	. . . . . . . . . . 11
11	5, 10	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10
12		fzss2 12381	. . . . . . . . . 10
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9
14		poimirlem9.2	. . . . . . . . 9
15	13, 14	sseldd 3604	. . . . . . . 8
16		fzp1elp1 12394	. . . . . . . . . 10
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9
18	5	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
19	17, 18	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8
20	15, 19	prssd 4354	. . . . . . 7
21		undif 4049	. . . . . . 7 $\$
22	20, 21	sylib 208	. . . . . 6 $\$
23	22	reseq2d 5396	. . . . 5 $\$
24		poimirlem9.3	. . . . . . . 8
25		elrabi 3359	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
26		poimirlem22.s	. . . . . . . . 9 ..^
27	25, 26	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 ..^
28		xp1st 7198	. . . . . . . 8 ..^ ..^
29		xp2nd 7199	. . . . . . . 8 ..^
30	24, 27, 28, 29	4syl 19	. . . . . . 7
31		fvex 6201	. . . . . . . 8
32		f1oeq1 6127	. . . . . . . 8
33	31, 32	elab 3350	. . . . . . 7
34	30, 33	sylib 208	. . . . . 6
35		f1ofn 6138	. . . . . 6
36		fnresdm 6000	. . . . . 6
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . 5
38	23, 37	eqtrd 2656	. . . 4 $\$
39	1, 38	syl5eqr 2670	. . 3 $\$
40		2lt3 11195	. . . . . 6
41		2re 11090	. . . . . . 7
42		3re 11094	. . . . . . 7
43	41, 42	ltnlei 10158	. . . . . 6
44	40, 43	mpbi 220	. . . . 5
45		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . 12
46	45	coeq2i 5282	. . . . . . . . . . 11
47		coundi 5636	. . . . . . . . . . 11
48	46, 47	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
49		poimirlem9.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
51	50, 26	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
52		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
53		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
54	49, 51, 52, 53	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
56		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57	55, 56	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58	54, 57	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	19	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
62		f1ores 6151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
63	60, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
66		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67	58, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
68		fnsnfv 6258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69	67, 19, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16
70	69	feq3d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	65, 70	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
73		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	73, 74	fsn 6402	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	72, 75	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14
77		fco2 6059	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
78	71, 76, 77	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13
79		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14
80	79	fconst2 6470	. . . . . . . . . . . . 13
81	78, 80	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12
82	73, 79	xpsn 6407	. . . . . . . . . . . 12
83	81, 82	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
84	83	uneq1d 3766	. . . . . . . . . 10
85	48, 84	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9
86		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
87	14, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88	87	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	88	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	88, 89	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . 14
91	90	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . 13
92		f1veqaeq 6514	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
93	60, 19, 15, 92	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . 13
95	91, 94	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12
96	95	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11
97	73, 79	opth 4945	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	97	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11
99	96, 98	nsyl 135	. . . . . . . . . 10
100	90	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11
101	73, 79	opth1 4944	. . . . . . . . . . 11
102	100, 101	nsyl 135	. . . . . . . . . 10
103		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . 15
104	103	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . 14
105		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . 14
106	104, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
107		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13
108	106, 107	mpbii 223	. . . . . . . . . . . 12
109	103	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
110		oran 517	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$
111	109, 110	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	108, 111	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113	112	necon2ai 2823	. . . . . . . . . 10 $/\$
114	99, 102, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
115	85, 114	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8
116		fnressn 6425	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
117	67, 15, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
118		fnressn 6425	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
119	67, 19, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
120	117, 119	uneq12d 3768	. . . . . . . . . 10
121		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . 12
122	121	reseq2i 5393	. . . . . . . . . . 11
123		resundi 5410	. . . . . . . . . . 11
124	122, 123	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
125		df-pr 4180	. . . . . . . . . 10
126	120, 124, 125	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . 9
127		poimirlem9.4	. . . . . . . . . . 11
128	2, 26, 49, 14, 24	poimirlem8 33417	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
129		uneq12 3762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
130		resundi 5410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
131	22	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
132		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133	58, 66, 132	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
134	131, 133	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
135	130, 134	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
136	39, 135	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
137	129, 136	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $\$
138	128, 137	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . 12
139	138	necon3d 2815	. . . . . . . . . . 11
140	127, 139	mpd 15	. . . . . . . . . 10
141	140	necomd 2849	. . . . . . . . 9
142	126, 141	eqnetrrd 2862	. . . . . . . 8
143		prex 4909	. . . . . . . . . . . 12
144	55, 143	coex 7118	. . . . . . . . . . 11
145		prex 4909	. . . . . . . . . . 11
146	31	resex 5443	. . . . . . . . . . 11
147		hashtpg 13267	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	144, 145, 146, 147	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
149	148	biimpi 206	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
150	149	3expia 1267	. . . . . . . 8 $/\$
151	115, 142, 150	syl2anc 693	. . . . . . 7
152		prex 4909	. . . . . . . . . . . . 13
153		prex 4909	. . . . . . . . . . . . 13
154	152, 153	mapval 7869	. . . . . . . . . . . 12
155		prfi 8235	. . . . . . . . . . . . 13
156		prfi 8235	. . . . . . . . . . . . 13
157		mapfi 8262	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
158	155, 156, 157	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12
159	154, 158	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . . 11
160		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12
161	160	ss2abi 3674	. . . . . . . . . . 11
162		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 $/\$
163	159, 161, 162	mp2an 708	. . . . . . . . . 10
164	19, 15	prssd 4354	. . . . . . . . . . . . . . 15
165		f1ores 6151	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
166	60, 164, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14
167		fnimapr 6262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
168	67, 19, 15, 167	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15
169	168	f1oeq3d 6134	. . . . . . . . . . . . . 14
170	166, 169	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13
171		f1oprg 6181	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	73, 74, 74, 73, 171	mp4an 709	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
173	90, 91, 172	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
174		f1oco 6159	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
175	170, 173, 174	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
176		rnpropg 5615	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
177	73, 74, 176	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14
178	177	eqimssi 3659	. . . . . . . . . . . . 13
179		cores 5638	. . . . . . . . . . . . 13
180		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13
181	178, 179, 180	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12
182	175, 181	sylib 208	. . . . . . . . . . 11
183	95	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . 13
184		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14
185		f1oprg 6181	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	73, 184, 74, 79, 185	mp4an 709	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
187	90, 183, 186	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
188		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . 13
189		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . . . 13
190	188, 189	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
191	187, 190	sylib 208	. . . . . . . . . . 11
192		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . 14
193	34, 192	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
194		f1ores 6151	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
195	193, 20, 194	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
196		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
197	196	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16
198		imadif 5973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$ $\$ $\$
199	34, 197, 198	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$ $\$ $\$
200		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
201		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
202	34, 200, 201	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
203		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
204		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
205	58, 203, 204	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
206	202, 205	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16
207	128	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
208		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
209		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
210	207, 208, 209	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
211	206, 210	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$ $\$ $\$
212		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
213	212	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
214		imadif 5973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$ $\$ $\$
215	58, 213, 214	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$ $\$ $\$
216		dfin4 3867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
217		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
218	20, 217	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
219	216, 218	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
220	219	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
221	215, 220	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
222	199, 211, 221	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
223	219	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
224		fnimapr 6262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
225	67, 15, 19, 224	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15
226	225, 188	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
227	222, 223, 226	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13
228	227	f1oeq3d 6134	. . . . . . . . . . . 12
229	195, 228	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
230		ssabral 3673	. . . . . . . . . . . 12
231		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13
232		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13
233		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13
234	144, 145, 146, 231, 232, 233	raltp 4240	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
235	230, 234	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
236	182, 191, 229, 235	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . 10
237		hashss 13197	. . . . . . . . . 10 $/\$
238	163, 236, 237	sylancr 695	. . . . . . . . 9
239	153	enref 7988	. . . . . . . . . . . 12
240		hashprg 13182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
241	79, 184, 240	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15
242	95, 241	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14
243		hashprg 13182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
244	73, 74, 243	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15
245	90, 244	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14
246	242, 245	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13
247		hashen 13135	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
248	155, 156, 247	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13
249	246, 248	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12
250		hashfacen 13238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
251	239, 249, 250	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
252	153, 153	mapval 7869	. . . . . . . . . . . . . 14
253		mapfi 8262	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
254	156, 156, 253	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14
255	252, 254	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . . . . 13
256		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . 14
257	256	ss2abi 3674	. . . . . . . . . . . . 13
258		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
259	255, 257, 258	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12
260		hashen 13135	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
261	163, 259, 260	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11
262	251, 261	sylibr 224	. . . . . . . . . 10
263		hashfac 13242	. . . . . . . . . . . 12
264	156, 263	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
265	245	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
266		fac2 13066	. . . . . . . . . . . 12
267	265, 266	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
268	264, 267	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10
269	262, 268	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
270	238, 269	breqtrd 4679	. . . . . . . 8
271		breq1 4656	. . . . . . . 8
272	270, 271	syl5ibcom 235	. . . . . . 7
273	151, 272	syld 47	. . . . . 6
274	273	necon1bd 2812	. . . . 5
275	44, 274	mpi 20	. . . 4
276		coires1 5653	. . . . 5 $\$ $\$
277	128, 276	syl6eqr 2674	. . . 4 $\$ $\$
278	275, 277	uneq12d 3768	. . 3 $\$ $\$
279	39, 278	eqtr3d 2658	. 2 $\$
280		coundi 5636	. 2 $\$ $\$
281	279, 280	syl6eqr 2674	1 $\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wral 2912

crab 2916

cvv 3200

csb 3533 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

cif 4086

csn 4177

cpr 4179

ctp 4181

cop 4183 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cid 5023

cxp 5112

ccnv 5113

crn 5115

cres 5116

cima 5117

ccom 5118

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cen 7952

cfn 7955

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

c3 11071

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cfa 13060

chash 13117

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118

This theorem is referenced by: poimirlem22 33431

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